Considere a sequência de termo geral dado por an=2^2 n(n-1) !. Escreva an+1 em função de an

Passo 1

O enunciado define a sequência cujo termo geral é
an=2^2n(n-1)!
e pede para escrever an+1 em função de an. O conteúdo aqui é reconhecer fatorização de potências de 2 e relação entre fatoriais para montar uma relação de recorrência.

Passo 2

Primeiro escrevemos an+1 a partir da definição, trocando n por n+1:
an+1=2^2(n+1)l((n+1)-1r)!
ou seja
an+1=2^2n+2n!

Passo 3

Agora usamos que 2^2n+2=2^2cdot2^2n=4cdot2^2n e que n!=n,(n-1)!. Assim,
an+1 =4cdot2^2nn,(n-1)! =4n,2^2n(n-1)!

Passo 4

Reconhecendo que 2^2n(n-1)!=an, obtemos a relação de recorrência desejada:
an+1=4n,an

Resposta

an+1=4n,an

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