Em cada um dos Problemas 1 a 32, resolva a equação diferencial dada. Se uma condição inicial for especificada, determine a solução que a satisfaz.
d yd x=x^2+y^2x^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
dydx=x^2+y^2x^2,
que é uma EDO homogênea (pois o lado direito depende de y/x). Vamos usar a substituição y=v,x.

Passo 2

Da substituição y=v,x segue
dydx=v + xdvdx
Substituindo em
v + xdvdx ;=; 1 + v^2
temos
xdvdx = 1 + v^2 - v

Passo 3

Separamos as variáveis:
dv1 + v^2 - v = dxx

Passo 4

No lado esquerdo completamos o quadrado:
1 + v^2 - v = l(v-tfrac12r)^2 + tfrac34,
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integral dv(v-tfrac12)^2+(tfracraiz32)^2 = 2raiz3arctan!l(2(v-tfrac12)raiz3r)
No lado direito,
integral dxx = lnlvert xrvert + C
Portanto
2raiz3arctan!l(2v-1raiz3r) = lnlvert xrvert + C

Passo 5

Voltando a v = tfracyx e definindo C1=tfracraiz32C, isolamos o arco– tangente:
arctan!l(2y/x-1raiz3r) = raiz32lnlvert xrvert + C1
Aplicando a tangente e reorganizando, obtemos a solução explícita
y(x) = x2l[1 + raiz3,tan!l(tfracraiz32lnlvert xrvert + C1r)r]

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
arctan!l(2y/x-1raiz3r) = raiz32lnlvert xrvert + C,
ou explicitamente por
y(x) = x2l[1 + raiz3,tan!l(tfracraiz32lnlvert xrvert + Cr)r]

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