Mostre que o série
é convergente, usando:
O teste de limite de comparação.
O teste de limite de comparação.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a série
é convergente usando o teste do limite de comparação. O conteúdo que vamos usar é o seguinte: se temos duas séries de termos positivos
e
e
com
, então as duas séries convergem ou divergem juntas.
Passo 2
Definimos
A série
é uma série geométrica de razão
, pois
e sabemos que ela converge (já que
).
Passo 3
Calculamos o limite do quociente dos termos:
Como
é um número finito e positivo, o teste do limite de comparação diz que
e
têm o mesmo comportamento de convergência.
Passo 4
Já que
converge (é geométrica com razão
), concluímos que
também converge.
Resposta
A série
é convergente por teste de limite de comparação com a série geométrica
.