Mostre que o série summ=1^+infty 43^m+1 é convergente, usando:
O teste de limite de comparação.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a série
summ=1^+infty43^m+1
é convergente usando o teste do limite de comparação. O conteúdo que vamos usar é o seguinte: se temos duas séries de termos positivos sum am e sum bm e
limmtoinftyambm=L
com 0<L<+infty, então as duas séries convergem ou divergem juntas.

Passo 2

Definimos
am=43^m+1 e bm=43^m
A série sum bm é uma série geométrica de razão 1/3, pois
bm=4l(13r)^m,
e sabemos que ela converge (já que lvert 1/3rvert<1).

Passo 3

Calculamos o limite do quociente dos termos:
limmtoinftyambm =limmtoinfty 43^m+143^m =limmtoinfty3^m3^m+1 =1
Como 1 é um número finito e positivo, o teste do limite de comparação diz que sum am e sum bm têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 4

Já que sum bm converge (é geométrica com razão 1/3), concluímos que sum am=summ=1^infty43^m+1 também converge.

Resposta

A série summ=1^+infty43^m+1 é convergente por teste de limite de comparação com a série geométrica summ=1^+infty43^m.

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