Em cada um dos Problemas 1 a 32, resolva a equação diferencial dada. Se uma condição inicial for especificada, determine a solução que a satisfaz.
d yd x=3 x^2 y+y^22 x^3+3 x y , y(1)=-2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
dydx = 3x^2y + y^22x^3 + 3xy
com condição inicial y(1)=-2.
O conteúdo é resolução de equação de primeira ordem não linear, e vamos precisar encontrar uma substituição que torne a equação separável.

Passo 2

Observamos que tanto no numerador quanto no denominador aparecem termos de grau 3 e de grau 2 em x e y. Para uniformizar os graus, fazemos a substituição
y = x^2 w(x)
Então
dydx = 2x,w + x^2dwdx

Passo 3

Substituindo y = x^2w na equação original, obtemos
2xw + x^2dwdx = x^4l(3w + w^2r)x^3l(2 + 3wr) = x,3w + w^22+3w
Dividindo por x e rearranjando, chega-se a
2w + xdwdx = 3w + w^22+3w Longrightarrow xdwdx = -w + 5w^22+3w

Passo 4

Agora a equação está separável:
2+3ww(1+5w),dw = -dxx

Passo 5

Fazemos frações parciais em 2+3ww(1+5w):
2+3ww(1+5w) = 2w - 71+5w
Integramos ambos os lados:
integral!l(tfrac2w - tfrac71+5wr),dw = 2ln|w| - 75lnl|1+5wr| = -ln|x| + C

Passo 6

Multiplicando por 5 e exponenciando, obtemos
lnw^10(1+5w)^7 = ln1x^5 + C' Longrightarrow w^10(1+5w)^7 = K,x^-5
Voltando a w = y/x^2,
l(yx^2r)^10 = K,x^-5l(1 + 5yx^2r)^7 Longrightarrow y^10 = K,x,(x^2+5y)^7

Passo 7

Usamos y(1)=-2 para determinar K:
(-2)^10 = Kcdot 1,(1 + 5cdot(-2))^7 ;Longrightarrow; 1024 = K,(-9)^7 = K,(-4782969) ;Longrightarrow; K = -10244782969

Resposta

A solução implícita que satisfaz a condição inicial é
boxedy^10 = -10244782969;x,(x^2+5y)^7

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