Justifique as falsas no Você
( ) Se sum an é divergente e sum bn é divergente, então sum an bn é divergente

Passo 1

O enunciado afirma que, se sum an e sum bn são divergentes, então obrigatoriamente sum anbn também diverge. O conteúdo envolvido é convergência e divergência de séries numéricas, e vamos refutar essa afirmação exibindo um contra-exemplo.

Passo 2

Escolhemos as sequências
an = 1n, bn = 1n
Sabemos que cada uma delas gera a série harmônica
sumn=1^infty an = sumn=1^infty 1n e sumn=1^infty bn = sumn=1^infty 1n,
as quais são divergentes porque são p-séries com p=1<=1.

Passo 3

Agora analisamos o produto termo a termo:
anbn = 1ncdot1n = 1n^2
A série
sumn=1^infty anbn = sumn=1^infty 1n^2
é uma p-série com p=2>1, logo converge.

Passo 4

Encontramos assim um caso em que sum an e sum bn divergem, mas sum anbn converge. Isso contradiz a afirmação original, provando-a falsa.

Resposta

A afirmação é falsa. Por exemplo, com an=bn=1/n temos sum an e sum bn divergentes, mas sum anbn=sum1/n^2 converge.

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