Considere a série sumn=2^+infty 1n raizln n. Verifique se ela atende as hipóteses do teste do integral. Em caso positivo, diga se ela converge. Caso não atenda aplique outro teste.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
sumn=2^infty1nraizln n
usando o teste da integral.
O conteúdo é o teste de comparação com integral imprópria: definimos uma função contínua, positiva e decrescente que coincide com o termo geral, integramos de 2 até infinito e vemos se dá convergência ou divergência.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=1xraizln x, x>=2
Vamos verificar as hipóteses do teste da integral:
  1. Positividade: para x>=2 temos ln x>0, logo f(x)>0.
  2. Continuidade: f é composição de funções contínuas em [2,infty) (exceto em x=1, mas começamos em 2), logo é contínua em [2,infty).
  3. Monotonicidade: calculamos f'(x) e mostramos que é negativo.

Passo 3

Derivando
f(x)=l(ln xr)^-tfrac12,x^-1
usando regra do produto e cadeia, obtemos
f'(x) =-1x^2raizln x -12,x^2(ln x)^3/2 =-1+tfrac12ln xx^2raizln x<0
para todo x>=2. Assim, f é decrescente.

Passo 4

Aplicamos a integral imprópria
integral2^inftydxxraizln x
Fazendo a troca de variável t=ln x, temos dt=dxx e os limites vão de t=ln2 até ttoinfty. Portanto
integral2^inftydxxraizln x =integralln2^inftyt^-1/2,dt =l[2raiztr]ln2^infty =+infty
A integral diverge.

Passo 5

Como a integral associada diverge e as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas, concluímos que a série
sumn=2^infty1nraizln n
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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