Considere a série
. Verifique se ela atende as hipóteses do teste do integral. Em caso positivo, diga se ela converge. Caso não atenda aplique outro teste.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a série
usando o teste da integral.
O conteúdo é o teste de comparação com integral imprópria: definimos uma função contínua, positiva e decrescente que coincide com o termo geral, integramos de 2 até infinito e vemos se dá convergência ou divergência.
O conteúdo é o teste de comparação com integral imprópria: definimos uma função contínua, positiva e decrescente que coincide com o termo geral, integramos de 2 até infinito e vemos se dá convergência ou divergência.
Passo 2
Definimos a função
Vamos verificar as hipóteses do teste da integral:
- Positividade: para
temos , logo . - Continuidade:
é composição de funções contínuas em (exceto em , mas começamos em 2), logo é contínua em . - Monotonicidade: calculamos
e mostramos que é negativo.
Passo 3
Derivando
usando regra do produto e cadeia, obtemos
para todo
. Assim,
é decrescente.
Passo 4
Aplicamos a integral imprópria
Fazendo a troca de variável
, temos
e os limites vão de
até
. Portanto
A integral diverge.
Passo 5
Como a integral associada diverge e as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas, concluímos que a série
também diverge.
Resposta
A série diverge.