Em cada um dos Problemas 1 a 32, resolva a equação diferencial dada. Se uma condição inicial for especificada, determine a solução que a satisfaz.
d yd x=2 y+raizx^2+y^22 x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem dydx=2y+raizx^2+y^22x. Isso é uma EDO homogênea em x e y, pois a razão 2y+raizx^2+y^22x depende apenas de y/x. Vamos, portanto, usar a substituição y=vx para reduzir a equação.

Passo 2

Substituindo y=vx temos dydx=v+xdvdx. Além disso, raizx^2+y^2=xraiz1+v^2. A equação fica
v+xdvdx=2(vx)+xraiz1+v^22x=2v+raiz1+v^22

Passo 3

Isolando dv/dx obtemos
xdvdx=raiz1+v^22Longrightarrowdvraiz1+v^2=dx2x

Passo 4

Agora separamos as variáveis e integramos:
integraldvraiz1+v^2=integral12dxxLongrightarrowarcsinh(v)=12ln|x|+C

Passo 5

Voltando a v=y/x, a solução implícita geral é
arcsinhl(tfracyxr)=12ln|x|+C

Resposta

arcsinh(tfracyx)=tfrac12ln|x|+C

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