Calcular as Derivadas das Funções abaixo, usando a definição:
f^prime(x)=lim De<a x 0 f(x+De<a x)-f(x)De<a x.
b) f(x)=4 x^2+5 x+3 R) 8 x+5

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai calcular a derivada da função f(x) = 4x^2 + 5x + 3 usando a definição de derivada. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial. Para resolver, vamos precisar entender o que é derivada e como aplicar o limite na definição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à gráfica da função nesse ponto. A definição matemática da derivada é:
f'(x) = limDe<a x to 0 f(x + De<a x) - f(x)De<a x
Isso significa que vamos calcular o limite da diferença do valor da função em x + De<a x e em x , dividida por De<a x , quando De<a x se aproxima de zero.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição na nossa função f(x) = 4x^2 + 5x + 3 . Primeiro, precisamos calcular f(x + De<a x) :
f(x + De<a x) = 4(x + De<a x)^2 + 5(x + De<a x) + 3
Vamos expandir isso:
= 4(x^2 + 2xDe<a x + (De<a x)^2) + 5x + 5De<a x + 3
= 4x^2 + 8xDe<a x + 4(De<a x)^2 + 5x + 5De<a x + 3

Passo 4

Agora, vamos calcular f(x + De<a x) - f(x) :
f(x + De<a x) - f(x) = (4x^2 + 8xDe<a x + 4(De<a x)^2 + 5x + 5De<a x + 3) - (4x^2 + 5x + 3)
Simplificando, os termos 4x^2 , 5x e 3 se cancelam:
= 8xDe<a x + 4(De<a x)^2 + 5De<a x

Passo 5

Agora, vamos dividir essa diferença por De<a x :
f(x + De<a x) - f(x)De<a x = 8xDe<a x + 4(De<a x)^2 + 5De<a xDe<a x
Podemos dividir cada termo por De<a x :
= 8x + 4De<a x + 5

Passo 6

Agora, vamos aplicar o limite quando De<a x tende a zero:
f'(x) = limDe<a x to 0 (8x + 4De<a x + 5)
Como De<a x tende a zero, o termo 4De<a x também tende a zero:
f'(x) = 8x + 5

Resposta

A derivada da função f(x) = 4x^2 + 5x + 3 é f'(x) = 8x + 5 .

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