Em cada um dos seguintes casos, usar o método do Problema 36 a fim de achar as trajetórias ortogonais da família de curvas dada. Desenhar também algumas curvas da família dada e algumas curvas da respectiva família das trajetórias ortogonais.
A família de hipérboles .
Passo 1
O enunciado dá a família de curvas
onde é parâmetro real. Queremos encontrar a família de trajetórias ortogonais, ou seja, curvas que em cada ponto cortam ortogonalmente as hipérboles . Para isso vamos usar o seguinte procedimento (método do Problema 36):
Determinar a equação diferencial da família dada.
Substituir nela a inclinação pela sua negativa recíproca, obtendo a equação diferencial das ortogonais.
Resolver essa nova equação para achar a família de ortogonalidade.
Passo 2
Diferenciando em relação a , tratando como função de , temos
Logo a inclinação da família dada é
Passo 3
A condição de ortogonalidade requer que, em cada ponto, a inclinação da trajetória ortogonal seja o negativo recíproco de . Assim
Então a equação diferencial das ortogonais é
dydx = xy
Passo 4
Separe as variáveis em dydx = xy:
y,dy = x,dx
Integrando ambos os lados,
integral y,dy = integral x,dx Longrightarrow y^22 = x^22 + K,
onde K é constante de integração. Multiplicando por 2,
y^2 - x^2 = D,
com D=2K. Essa é a família de trajetórias ortogonais.
Passo 5
Podemos ilustrar qualitativamente:
Para c=1 as curvas xy=1 são hipérboles nos quadrantes I e III; para c=-1 são nos quadrantes II e IV; e valores de lvert crvert maiores afastam mais os ramos do eixo.
As ortogonais y^2 - x^2 = D são hipérboles cujos eixos principais são as retas y=pm x; para D>0 abrem-se para cima/baixo, e para D<0 abrem-se para esquerda/direita.
Essas duas famílias realmente se cortam em ângulo reto em cada ponto comum.