Em cada um dos seguintes casos, usar o método do Problema 36 a fim de achar as trajetórias ortogonais da família de curvas dada. Desenhar também algumas curvas da família dada e algumas curvas da respectiva família das trajetórias ortogonais.
A família de hipérboles x y=c.

Passo 1

O enunciado dá a família de curvas
xy = c
onde c é parâmetro real. Queremos encontrar a família de trajetórias ortogonais, ou seja, curvas que em cada ponto cortam ortogonalmente as hipérboles xy=c. Para isso vamos usar o seguinte procedimento (método do Problema 36):
  1. Determinar a equação diferencial da família dada.
  2. Substituir nela a inclinação pela sua negativa recíproca, obtendo a equação diferencial das ortogonais.
  3. Resolver essa nova equação para achar a família de ortogonalidade.

Passo 2

Diferenciando xy=c em relação a x, tratando y como função de x, temos
xdydx + y = 0
Logo a inclinação da família dada é
dydx = -yx

Passo 3

A condição de ortogonalidade requer que, em cada ponto, a inclinação da trajetória ortogonal seja o negativo recíproco de -y/x. Assim
dydx|ort = -1(-y/x) = xy
Então a equação diferencial das ortogonais é
dydx = xy

Passo 4

Separe as variáveis em dydx = xy:
y,dy = x,dx
Integrando ambos os lados,
integral y,dy = integral x,dx Longrightarrow y^22 = x^22 + K,
onde K é constante de integração. Multiplicando por 2,
y^2 - x^2 = D,
com D=2K. Essa é a família de trajetórias ortogonais.

Passo 5

Podemos ilustrar qualitativamente:
  1. Para c=1 as curvas xy=1 são hipérboles nos quadrantes I e III; para c=-1 são nos quadrantes II e IV; e valores de lvert crvert maiores afastam mais os ramos do eixo.
  2. As ortogonais y^2 - x^2 = D são hipérboles cujos eixos principais são as retas y=pm x; para D>0 abrem-se para cima/baixo, e para D<0 abrem-se para esquerda/direita.
    Essas duas famílias realmente se cortam em ângulo reto em cada ponto comum.

Resposta

A família de trajetórias ortogonais a xy=c é
y^2 - x^2 = D,
com D constante real.

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