Em cada um dos Problemas 1 a 32, resolva a equação diferencial dada. Se uma condição inicial for especificada, determine a solução que a satisfaz.
d yd x=y^31-2 x y^2 , y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
dydx = y^31 - 2xy^2,
com condição inicial y(0)=1. Podemos resolver separando variáveis ou, de modo mais direto, inverter para obter uma equação linear em x como função de y.

Passo 2

Invertendo a derivada, temos
dxdy = 1 - 2xy^2y^3 = y^-3 - 2,y^-1x
Essa é uma equação linear na forma
dxdy + 2,y^-1x = y^-3

Passo 3

O fator integrante é
mu(y) = expl(integral 2,y^-1dyr) = expl(2ln|y|r) = y^2
Multiplicando a equação por mu(y),
y^2dxdy + 2y,x = y^2cdot y^-3 = y^-1,
o lado esquerdo fica ddy(y^2x).

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a y,
ddy(y^2 x) = y^-1 Longrightarrow y^2 x = integral y^-1dy = ln|y| + C
Logo
x = ln|y| + Cy^2

Passo 5

Impondo y(0)=1, temos em x=0, y=1:
0 = ln(1) + C1^2 ;Longrightarrow;C=0
Assim
x = ln yy^2

Passo 6

Reescrevendo de forma implícita,
x,y^2 = ln y Long<=ftrightarrow ln y - x,y^2 = 0

Resposta

A solução particular que satisfaz y(0)=1 é dada implicitamente por
x,y^2 = ln y

Exercícios relacionados