Calcular a derivada de cada função abaixo:
i) f(x)=raizx+1x-1
R) -1(raizx+1)(raiz(x-1)^3

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=raizx+1x-1.
Aqui vamos usar duas ferramentas: a regra da cadeia (para a raiz) e a derivada de quociente (para (x+1)/(x-1)).

Passo 2

Escrevendo
f(x)=l(x+1x-1r)^12,
pela regra da cadeia temos
f'(x)=12l(x+1x-1r)^-12cdotddxl(x+1x-1r)

Passo 3

Agora calculamos a derivada do quociente
ddxl(x+1x-1r) =(1),(x-1)-(x+1),(1)(x-1)^2 =x-1-x-1(x-1)^2 =-2(x-1)^2

Passo 4

Substituindo em f'(x):
f'(x) =12l(x+1x-1r)^-12cdotl(-2(x-1)^2r) =-l(x+1x-1r)^-121(x-1)^2
Como l((x+1)/(x-1)r)^-tfrac12=raiztfracx-1x+1, fica
f'(x) =-raiztfracx-1x+1(x-1)^2 =-1raizx+1,(x-1)^3/2

Resposta

f'(x)=-1raizx+1,(x-1)^3/2

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