Em cada um dos Problemas 1 a 32, resolva a equação diferencial dada. Se uma condição inicial for especificada, determine a solução que a satisfaz.
(x^2 y+x y-y) d x-(x^2 y-2 x^2) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
l(x^2y + x y - yr),dx ;-;l(x^2y - 2x^2r),dy = 0
Aqui temos M(x,y)=y(x^2+x-1) e N(x,y)=-x^2y+2x^2. Ao verificar
partial Mpartial y=x^2+x-1, partial Npartial x=-2xy+4x,
vê-se que partialy Mneqpartialx N, ou seja, a equação não é exata. Vamos então buscar um fator integrante do tipo
mu(x,y)=x^ay^b

Passo 2

Multiplicando M e N por mu definimos
M^*=x^ay^b,M e N^*=x^ay^b,N
A condição de exatidão partialy M^*=partialx N^* leva a
(x^2+x-1)(b+1) = (a+2),x,(2-y)
Para que o lado direito não dependa de y devemos ter a+2=0 e para o esquerdo não seja identicamente zero precisamos b+1=0. Assim
a=-2, b=-1,
isto é
mu(x,y)=1x^2y

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu=1/(x^2y) e obtemos
l(1 + tfrac1x - tfrac1x^2r),dx + l(-1 + tfrac2yr),dy =0,
que é exata. Procuramos então uma função potencial psi(x,y) tal que
partial psipartial x =1 + tfrac1x - tfrac1x^2, partial psipartial y =-1 + tfrac2y
Integrando em x:
psi(x,y) =integrall(1 + tfrac1x - tfrac1x^2r)dx = x + ln|x| + 1x + h(y)
Derivando em y e igualando a -1+2/y
h'(y)=-1+2y Longrightarrow h(y)=-y+2ln|y|
Logo
psi(x,y) = x + ln|x| + 1x ;-; y + 2ln|y|

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por
x + ln|x| + 1x ;-; y + 2ln|y| = C,
onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados