Imaginemos a família de parábolas
onde
é uma constante que identifica as parábolas desta familia. Desenhe algumas parábolas desta família e ache uma expressão para o coeficiente angular
da parábola desta familia que passa por um ponto (
) fixado no plano [sugestão: derive
em relação a
e depois substitua
. Note que a expressão obtida é em função do ponto
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma família de parábolas descritas pela equação
, onde
é uma constante que define cada parábola específica dessa família. O objetivo é desenhar algumas dessas parábolas e encontrar uma expressão para o coeficiente angular
da parábola que passa por um ponto fixo
no plano. Para isso, vamos precisar usar derivadas para encontrar a inclinação da parábola nesse ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a equação da parábola em relação a
para encontrar o coeficiente angular. A derivada de
em relação a
é:
Essa expressão nos dá a inclinação da reta tangente à parábola em qualquer ponto
.
Passo 3
Agora, sabemos que a parábola passa pelo ponto fixo
. Isso significa que as coordenadas
e
satisfazem a equação da parábola. Ou seja:
Podemos resolver essa equação para
:
Passo 4
Com o valor de
encontrado, vamos substituir na expressão da derivada para obter o coeficiente angular em termos de
e
:
Simplificando:
Resposta
A expressão para o coeficiente angular
em função do ponto
é: