Imaginemos a família de parábolas y=k x^2 onde k é uma constante que identifica as parábolas desta familia. Desenhe algumas parábolas desta família e ache uma expressão para o coeficiente angular d yd x da parábola desta familia que passa por um ponto ( x, y ) fixado no plano [sugestão: derive y=k x^2 em relação a x e depois substitua k=y / x^2]. Note que a expressão obtida é em função do ponto (x, y).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma família de parábolas descritas pela equação y = kx^2 , onde k é uma constante que define cada parábola específica dessa família. O objetivo é desenhar algumas dessas parábolas e encontrar uma expressão para o coeficiente angular dydx da parábola que passa por um ponto fixo (x, y) no plano. Para isso, vamos precisar usar derivadas para encontrar a inclinação da parábola nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a equação da parábola em relação a x para encontrar o coeficiente angular. A derivada de y = kx^2 em relação a x é:
dydx = 2kx
Essa expressão nos dá a inclinação da reta tangente à parábola em qualquer ponto x .

Passo 3

Agora, sabemos que a parábola passa pelo ponto fixo (x, y) . Isso significa que as coordenadas x e y satisfazem a equação da parábola. Ou seja:
y = kx^2
Podemos resolver essa equação para k :
k = yx^2

Passo 4

Com o valor de k encontrado, vamos substituir na expressão da derivada para obter o coeficiente angular em termos de x e y :
dydx = 2 ( yx^2 ) x
Simplificando:
dydx = 2yx

Resposta

A expressão para o coeficiente angular dydx em função do ponto (x, y) é:
dydx = 2yx

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