Em cada um dos problemas de 40 a 45, use a substituição introduzida no Problema 34 da Seção 3.3 para resolver a equação diferencial dada.
t^2 y^prime prime+5 t y^prime+13 y=0, t>0

Passo 1

Temos a equação de Euler t^2 y'' + 5t y' + 13y = 0 para t>0. Vamos usar o método do Problema 34 da Seção 3.3, que consiste em fazer a mudança de variável x = ln t e definir u(x) = y(t), com t = e^x.

Passo 2

Com essa mudança, calculamos as derivadas de y em função de u. Primeiro,
dydt = 1t ,u'(x),
e em seguida
d^2ydt^2 = 1t^2l(u''(x) - u'(x)r)
Substituindo em t^2y'' + 5t y' + 13y = 0 obtemos
t^2 cdot 1t^2(u'' - u') + 5t cdot 1tu' + 13u = 0
que simplifica para a equação de coeficientes constantes
u'' + 4u' + 13u = 0

Passo 3

Montamos a equação característica
$$
r^2 + 4r + 13 = 0, r^2 + 4r + 13 = 0,íã
r = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 52}}{2} = -2 \pm 3i.$$

Passo 4

Pela teoria de equações lineares com raízes complexas, a solução geral é
u(x) = e^-2xl(C1cos(3x) + C2sin(3x)r)

Passo 5

Voltando à variável original t=e^x, temos e^-2x = t^-2 e x=ln t. Portanto
$$
y(t) = t^{-2}\bigl(C_1\cos(3\ln t) + C_2\sin(3\ln t)\bigr).$$

Resposta

y(t) = t^-2l(C1cos(3ln t) + C2sin(3ln t)r).

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