Em cada um dos problemas de 40 a 45, use a substituição introduzida no Problema 34 da Seção 3.3 para resolver a equação diferencial dada.
Passo 1
Temos a equação de Euler
para
. Vamos usar o método do Problema 34 da Seção 3.3, que consiste em fazer a mudança de variável
e definir
, com
.
Passo 2
Com essa mudança, calculamos as derivadas de
em função de
. Primeiro,
e em seguida
Substituindo em
obtemos
que simplifica para a equação de coeficientes constantes
Passo 3
Montamos a equação característica
$$
r^2 + 4r + 13 = 0,
r = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 52}}{2} = -2 \pm 3i.$$
Passo 4
Pela teoria de equações lineares com raízes complexas, a solução geral é
Passo 5
Voltando à variável original
, temos
e
. Portanto
$$
y(t) = t^{-2}\bigl(C_1\cos(3\ln t) + C_2\sin(3\ln t)\bigr).$$