Seja un= 0 & se n é impar 1n & se n é par uma sequência.
a. Suponhamos que as sequências un=cos (pi n) e forall n>0, un=sumk=1^n (-1)^kk são limitadas. Provar que a sequência u2 n+1-u2 n é limitada.
b. Suponhamos que as sequências e são convergentes e tem o mesmo limite. Provar que a sequência converge a esse mesmo limite.
c. Aplicações :
(i) Provar que a sequência definida por
éé
é convergente.
(ii) Provar que a sequência (para não converge.
(iii) Definimos a sequência :
Provar que a sequência é crescente eque a sequência é decrescente. Calcular . Concluir que é convergente.

Passo 1

O enunciado trata de uma sequência genérica (un)n e explora propriedades das subsequências de índices pares e ímpares, envolvendo conteúdos de limite, subsequências e monotonia. Vamos usar definição de limite de sequência, o fato de que uma sequência é limitada se todos seus termos ficam dentro de algum intervalo finito, e o Teorema da convergência de subsequências com mesmo limite.

Passo 2

Como (u2n)n e (u2n+1)n são limitadas, existem constantes M1, M2>0 tais que |u2n|<= M1 e |u2n+1|<= M2 para todo n. Basta tomar M=maxM1,M2. Então, para qualquer n, quer n seja par ou ímpar, temos |un|<= M. Logo (un)n é limitada.

Passo 3

Supondo limntoinftyu2n=L e limntoinftyu2n+1=L, dado varepsilon>0 escolhemos N1 tal que para todo n>= N1 |u2n-L| e N2 tal que para todo n>= N2 |u2n+1-L|. Basta tomar N=2maxN1,N2+1. Então, para todo n>= N, seja n par, n=2k com k>= N1, ou ímpar, n=2k+1 com k>= N2, garantindo |un-L|. Logo unto L.

Passo 4

Para un=0 se n ímpar e un=1/n se n par, note que a subsequência ímpar é constante 0 e a par tende a 0. Como os dois limites coincidem, por (b) unto0.

Passo 5

Em un=cos(pi n)=(-1)^n, as subsequências são u2n=1 e u2n+1=-1. Seus limites são diferentes, então por (b) contrariamente, (un) não converge.

Passo 6

Definimos agora un=sumk=1^n(-1)^k+1k. Para analisar monotonia das subsequências pares, calcule
u2n-u2n-2=(-1)^2n-1+12n-1+(-1)^2n+12n=12n-1-12n>0,
logo (u2n)n é crescente. Para a subsequência ímpar,
u2n+1-u2n-1=(-1)^2n2n+(-1)^2n+1+12n+1=-12n+12n+1<0,
logo (u2n+1)n é decrescente. O próximo passo é calcular a diferença entre termos consecutivos:
u2n+1-u2n=(-1)^2n+22n+1=12n+1,
que tende a zero quando ntoinfty. Como as duas subsequências par e ímpar são monotônicas e limitadas (pela parte a)), e a diferença entre elas vai a zero, elas têm o mesmo limite. Pelo Teorema da parte (b), un converge a esse limite.

Passo 7

O resultado final é:
  • a) (un) é limitada.
  • b) (un) converge para o limite comum das subsequências.
  • c)(i) unto0.
    c)(ii) (un) não converge.
    c)(iii) (u2n)) crescente, (u2n+1)) decrescente, u2n+1-u2n=1/(2n+1), conclusão: (un)) converge.

Resposta

a) Mostramos que basta tomar M como o máximo dos limites das subsequências par e ímpar, então (un)) é limitada.
b) Usamos definição varepsilon–N para pares e ímpares e unimos os índices, concluindo unto L.
c)(i) Limite 0 porque as subsequências ímpar 0 e par 1/(2n)to0.
(ii) Não converge pois lim u2n=1 e lim u2n+1=-1 são distintos.
(iii) Com un=sumk=1^n(-1)^k+1/k, prova-se que (u2n)) é crescente e (u2n+1)) decrescente; calcula-se u2n+1-u2n=1/(2n+1)to0; logo ambos subsequências convergem ao mesmo limite e, pelo item (b), un converge para esse limite.

Exercícios relacionados