Seja
uma sequência.
a. Suponhamos que as sequências
e
são limitadas. Provar que a sequência
é limitada.
b. Suponhamos que as sequências
e
são convergentes e tem o mesmo limite. Provar que a sequência
converge a esse mesmo limite.
c. Aplicações :
(i) Provar que a sequência
definida por
é convergente.
(ii) Provar que a sequência
(para
não converge.
(iii) Definimos a sequência
:
Provar que a sequência
é crescente eque a sequência
é decrescente. Calcular
. Concluir que
é convergente.
a. Suponhamos que as sequências
b. Suponhamos que as sequências
c. Aplicações :
(i) Provar que a sequência
(ii) Provar que a sequência
(iii) Definimos a sequência
Passo 1
O enunciado trata de uma sequência genérica
e explora propriedades das subsequências de índices pares e ímpares, envolvendo conteúdos de limite, subsequências e monotonia. Vamos usar definição de limite de sequência, o fato de que uma sequência é limitada se todos seus termos ficam dentro de algum intervalo finito, e o Teorema da convergência de subsequências com mesmo limite.
Passo 2
Como
e
são limitadas, existem constantes
tais que
e
para todo
. Basta tomar
. Então, para qualquer
, quer
seja par ou ímpar, temos
. Logo
é limitada.
Passo 3
Supondo
e
, dado
escolhemos
tal que para todo
e
tal que para todo
. Basta tomar
. Então, para todo
, seja
par,
com
, ou ímpar,
com
, garantindo
. Logo
.
Passo 4
Para
se
ímpar e
se
par, note que a subsequência ímpar é constante
e a par tende a
. Como os dois limites coincidem, por (b)
.
Passo 5
Em
, as subsequências são
e
. Seus limites são diferentes, então por (b) contrariamente,
não converge.
Passo 6
Definimos agora
. Para analisar monotonia das subsequências pares, calcule
logo
logo
é decrescente. O próximo passo é calcular a diferença entre termos consecutivos:
que tende a zero quando
Passo 7
O resultado final é:
- a)
é limitada. - b)
converge para o limite comum das subsequências. - c)(i)
.
c)(ii)não converge.
c)(iii)crescente, decrescente, , conclusão: converge.
Resposta
a) Mostramos que basta tomar M como o máximo dos limites das subsequências par e ímpar, então
é limitada.
b) Usamos definição –N para pares e ímpares e unimos os índices, concluindo
.
c)(i) Limite 0 porque as subsequências ímpar e par
.
(ii) Não converge pois e
são distintos.
(iii) Com , prova-se que
é crescente e
decrescente; calcula-se
; logo ambos subsequências convergem ao mesmo limite e, pelo item (b),
converge para esse limite.
b) Usamos definição
c)(i) Limite 0 porque as subsequências ímpar
(ii) Não converge pois
(iii) Com