Em cada um dos problemas de 40 a 45, use a substituição introduzida no Problema 34 da Seção 3.3 para resolver a equação diferencial dada.
t^2 y^prime prime+2 t y^prime+0,25 y=0, t>0

Passo 1

O enunciado dá uma equação de Cauchy–Euler
t^2y''+2ty'+0.25y=0,
com condição t>0. O conteúdo é transformar essa EDO variável-coeficiente em uma EDO de coeficientes constantes usando a substituição do Problema 34: x=ln t e y(t)=u(x).

Passo 2

Fazendo a substituição x=ln t e y(t)=u(x), precisamos calcular as derivadas:
y'=dudt=dudxdxdt=u't,
y''=ddtl(u'tr)=1td u'dt-u't^2=1t^2(u''-u'),
onde u' = du/dx e u'' = d^2u/dx^2.

Passo 3

Substituindo y' e y'' na equação original:
t^21t^2(u''-u')+2tu't+0.25u=0
Simplificando dá:
u''-u'+2u'+0.25u=0
ou
u''+u'+0.25u=0

Passo 4

Essa é uma EDO de coeficientes constantes. A equação característica é
m^2+m+0.25=0
Como o discriminante é De, temos raiz dupla
m=-tfrac12
Logo a solução geral em x é
u(x)=(C1+C2x)e^-x/2

Passo 5

Voltando a t pela relação x=ln t e lembrando que e^-x/2=t^-1/2, obtemos
y(t)=u(ln t)=(C1+C2ln t)t^-1/2

Resposta

y(t)=t^-1/2l(C1+C2ln tr)

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