Em cada um dos problemas de 40 a 45, use a substituição introduzida no Problema 34 da Seção 3.3 para resolver a equação diferencial dada.
Passo 1
A equação diferencial dada é do tipo Euler–Cauchy:
, válida para
. Para resolver esse tipo de equação, vamos usar a substituição introduzida no Problema 34: definir
e
, o que transforma o problema em uma EDO de coeficientes constantes.
Passo 2
Aplicando a regra da cadeia, relacionamos as derivadas de
com as de
. Temos:
onde o apóstrofo em
e
indica derivada em relação a
.
Passo 3
Substituindo essas expressões em
, obtemos:
que simplifica para
Passo 4
Agora resolvemos a equação de coeficientes constantes
. A equação característica é
cuja raiz discrimina é
, dando
Logo, a solução geral em
é
.
Passo 5
Para voltar a
, lembramos que
implica
. Assim