Em cada um dos problemas de 40 a 45, use a substituição introduzida no Problema 34 da Seção 3.3 para resolver a equação diferencial dada.
2 t^2 y^prime prime-5 t y^prime+5 y=0, t>0

Passo 1

A equação diferencial dada é do tipo Euler–Cauchy: 2t^2y''-5ty'+5y=0, válida para t>0. Para resolver esse tipo de equação, vamos usar a substituição introduzida no Problema 34: definir x=ln t e u(x)=y(t), o que transforma o problema em uma EDO de coeficientes constantes.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia, relacionamos as derivadas de y(t) com as de u(x). Temos:
y' = dudt = dudxdxdt = u't,
y'' = ddtl(u'tr) = 1t^2l(u''-u'r),
onde o apóstrofo em u' e u'' indica derivada em relação a x.

Passo 3

Substituindo essas expressões em 2t^2y''-5ty'+5y=0, obtemos:
2t^2u''-u't^2-5tu't+5u=0
que simplifica para
2(u''-u')-5u'+5u=0 Longrightarrow 2u''-7u'+5u=0

Passo 4

Agora resolvemos a equação de coeficientes constantes 2u''-7u'+5u=0. A equação característica é
2r^2-7r+5=0,
cuja raiz discrimina é De, dando
r=7pm34; Longrightarrow; r1=tfrac52, r2=1
Logo, a solução geral em u(x) é u(x)=C1e^52x+C2e^x.

Passo 5

Para voltar a y(t), lembramos que x=ln t implica e^rx=t^r. Assim
y(t)=u(ln t)=C1t^5/2+C2t

Resposta

y(t)=C1t^5/2+C2t

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