Em cada um dos problemas de 40 a 45, use a substituição introduzida no Problema 34 da Seção 3.3 para resolver a equação diferencial dada.
4 t^2 y^prime prime-8 t y^prime+9 y=0, t>0

Passo 1

Estamos lidando com uma equação de Euler–Cauchy: 4 t² y’’ − 8 t y’ + 9 y = 0 para t>0. O conteúdo é transformação de equações de Euler em equações com coeficientes constantes via a substituição x=ln t, e precisaremos aplicar a regra da cadeia para reescrever y’ e y’’ em termos de u(x).

Passo 2

Definimos a nova função u(x)=y(t) com x=ln t. Usando derivação em cadeia obtemos:
y'=du/dxdt/dx=u't,
y''=u''-u't^2

Passo 3

Substituímos y’ e y’’ na equação original:
4t^2l(u''-u't^2r)-8tl(u'tr)+9u=0,
que simplifica para a equação de coeficientes constantes
4u''-12u'+9u=0

Passo 4

Formamos a equação característica
4r^2-12r+9=0
O discriminante é zero, dando raiz dupla r=3/2. Logo a solução geral de u(x) é
u(x)=(C1+C2x)e^tfrac32x

Passo 5

Voltando à variável t, como x=ln t, temos
y(t)=u(ln t)=(C1+C2ln t)e^tfrac32ln t=(C1+C2ln t)t^tfrac32

Resposta

A solução geral é y(t)=(C1+C2ln t)t^tfrac32, com constantes arbitrárias C_1 e C_2.

Exercícios relacionados