Em cada um dos problemas de 40 a 45, use a substituição introduzida no Problema 34 da Seção 3.3 para resolver a equação diferencial dada.
Passo 1
Estamos lidando com uma equação de Euler–Cauchy: 4 t² y’’ − 8 t y’ + 9 y = 0 para t>0. O conteúdo é transformação de equações de Euler em equações com coeficientes constantes via a substituição x=ln t, e precisaremos aplicar a regra da cadeia para reescrever y’ e y’’ em termos de u(x).
Passo 2
Definimos a nova função u(x)=y(t) com x=ln t. Usando derivação em cadeia obtemos:
Passo 3
Substituímos y’ e y’’ na equação original:
que simplifica para a equação de coeficientes constantes
Passo 4
Formamos a equação característica
O discriminante é zero, dando raiz dupla r=3/2. Logo a solução geral de u(x) é
Passo 5
Voltando à variável t, como x=ln t, temos
Resposta
A solução geral é
, com constantes arbitrárias C_1 e C_2.