Em cada um dos problemas de 44 a 46, tente transformar a equação dada em uma com coeficientes constantes pelo método do Problema 43. Se isso for possível, encontre a solução geral da equação dada.

Passo 1

Estamos com a equação t y''+(t^2-1)y'+t^3y=0, que é uma EDO de segunda ordem com coeficientes variáveis. Vamos usar o método do Problema 43, que diz para achar uma mudança de variável x=g(t) de modo a gerar uma EDO com coeficientes constantes.

Passo 2

Sugerimos x=tfract^22. Então, pela regra da cadeia temos
y'=dydt=dydxdxdt=t,yx,
onde yx=dy/dx. Derivando de novo em relação a t:
y''=ddt(t,yx)=yx+td yxdt=yx+tl(yxx,dxdtr)=yx+t^2yxx
Multiplicando por t e somando os outros termos da EDO original: col1text_before_formula1_1 col1formula1_1 col1text_after_formula1_1

Resposta

y(t)=\exp\bigl(-\tfrac{t2}{4}\bigr)\Bigl[C_1\cos\Bigl(\tfrac{\sqrt3,t2}{4}\Bigr)+C_2\sin\Bigl(\tfrac{\sqrt3,t^2}{4}\Bigr)\Bigr]

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