Calcule f^prime prime(x) nos seguintes casos:

Passo 1

Temos a função f(x) = l(1 + tfrac1xr)^3. O conteúdo é derivada de função composta e vamos usar a regra da cadeia e a simplificação de expressões fracionárias.

Passo 2

Definimos g(x) = 1 + 1/x, então f(x) = g(x)^3. Pela regra da cadeia, f'(x) = 3g(x)^2 cdot g'(x). Como g'(x) = -1/x^2, segue:
f'(x) = 3l(1+tfrac1xr)^2 cdot l(-tfrac1x^2r) = -3(1+tfrac1x)^2x^2
Reescrevendo em termos de polinômios, (1+1/x)^2 = (x+1)^2/x^2, logo
f'(x) = -3(x+1)^2x^4

Passo 3

Para achar f''(x), derivamos f'(x) = -3(x+1)^2 x^-4. Chamando h(x)=(x+1)^2 x^-4, pela regra do produto obtemos:
h'(x) = 2(x+1)x^-4 + (x+1)^2(-4x^-5) = 2x+1x^4 -4(x+1)^2x^5
Colocando sobre um mesmo denominador x^5:
h'(x) = 2(x+1)x -4(x+1)^2x^5 = -2(x+1)(x+2)x^5

Passo 4

Agora usamos que f''(x) = -3,h'(x). Substituindo h'(x), temos f''(x) = -3 cdot l(-2(x+1)(x+2)x^5r).

Resposta

f''(x) = 6(x+1)(x+2)x^5

Exercícios relacionados