Escreva os quatro primeiros elementos das sequências das somas parciais das séries numéricas abaixo e determine se elas são convergentes ou divergentes. Se forem convergentes, obtenha as suas somas.
;

Passo 1

A série proposta é sumn=1^infty (tfrac23)^n. O conteúdo envolve séries geométricas, então vamos usar a fórmula da soma parcial e o critério de convergência para |r|<1.

Passo 2

Para uma série geométrica de primeiro termo a e razão rneq 1, a soma parcial SN é dada por:
SN = a cdot 1 - r^N1 - r

Passo 3

Aqui temos a = (tfrac23)^1 = tfrac23 e r = tfrac23. Vamos calcular os quatro primeiros termos de SN:
  • S1 = tfrac23.
  • S2 = tfrac23 cdot 1 - (tfrac23)^21 - tfrac23 = 2l(1 - tfrac49r) = tfrac109.
  • S3 = tfrac23 cdot 1 - (tfrac23)^31 - tfrac23 = 2l(1 - tfrac827r) = tfrac3827.
  • S4 = tfrac23 cdot 1 - (tfrac23)^41 - tfrac23 = 2l(1 - tfrac1681r) = tfrac13081.

Passo 4

Como |r| = tfrac23 < 1, a série é convergente. A soma ao infinito é
Sinfty = a1 - r = tfrac231 - tfrac23 = 2

Resposta

Os quatro primeiros elementos das somas parciais são
S1 = tfrac23, S2 = tfrac109, S3 = tfrac3827, S4 = tfrac13081.
A série é convergente e sua soma é 2.

Exercícios relacionados