Em cada um dos problemas abaixo, calcule a solução do problema de valor inicial dado.
y^prime prime+2 y^prime+2 y=h(t), y(0)=0, y^prime(0)=1 e h(t):lc0, & 0 <= t<2 pi 1, & pi <= t<2 pi 0, & t >= 2 pi

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y''+2y'+2y = h(t), y(0)=0,;y'(0)=1
onde
h(t)= 0, & 0<= t<pi, 1, & pi<= t<2pi, 0, & t>=2pi
O conteúdo aqui é solução de EDO linear de 2ª ordem com forçamento em regime causal. Vamos precisar de (a) solução da homogênea, (b) resposta ao impulso g(t) e (c) fórmula de convolução para montar a solução particular.

Passo 2

Primeiro resolvemos a homogênea
y''+2y'+2y=0
A equação característica é
r^2+2r+2=0 Longrightarrow r=-1pm i
Logo a solução geral da homogênea é
yh(t)=e^-tl(Ccos t + Dsin tr)
Impondo y(0)=0 C=0, e impondo y'(0)=1 (e lembrando que a parte particular anula em t=0) determina D=1. Assim
yh(t)=e^-tsin t

Passo 3

A resposta ao impulso do sistema
y''+2y'+2y=de<a(t)
tem transformada
Y(s)=1s^2+2s+2=1(s+1)^2+1,
cuja inversa é
g(t)=e^-tsin t, t>=0
Pelo princípio da convolução, a solução particular é
yp(t)=integral0^tg(t-tau),h(tau),dtau =integral0^te^-(t-tau)sinl(t-taur),h(tau),dtau
Então a solução completa é
y(t)=yh(t)+yp(t) =e^-tsin t +integral0^te^-(t-tau)sinl(t-taur),h(tau),dtau

Passo 4

Como h(t) é 1 só no intervalo [pi,2pi), podemos escrever
h(t)=u(t-pi)-u(t-2pi),
onde u é o degrau de Heaviside. Então
yp(t) =integral0^te^-(t-tau)sin(t-tau)l[u(tau-pi)-u(tau-2pi)r],dtau
Para cada faixa de t só um pedaço contribui:

Passo 5

Caso 0<= t<pi não há forçamento ativo, pois ainda não entrou o degrau em pi. Logo
yp(t)=0,
e
boxedy(t)=e^-tsin t, 0<= t<pi

Passo 6

Caso pi<= t<2pi entra o degrau em pi mas o degrau em 2pi ainda não entrou. Assim
yp(t) =integralpi^te^-(t-tau)sin(t-tau),dtau =integral0^,t-pie^-usin u,du,
onde fizemos u=t-tau. Usando
integral0^Ae^-usin u,du =12l[1 - e^-Al(cos A + sin Ar)r],
com A=t-pi, obtemos
yp(t) =12l[1 - e^-(t-pi)l(cos(t-pi)+sin(t-pi)r)r]
Logo, para pi<= t<2pi,
boxed y(t) =e^-tsin t +12l[1 - e^-(t-pi)l(cos(t-pi)+sin(t-pi)r)r]

Passo 7

Caso t>=2pi ambos os degraus entraram, então
yp(t) =integralpi^2pie^-(t-tau)sin(t-tau),dtau =integral0^,t-pie^-usin u,du -integral0^,t-2pie^-usin u,du
Aplicando a mesma primitiva aos limites A=t-pi e B=t-2pi,
yp(t) =12l[1 - e^-(t-pi)(cos(t-pi)+sin(t-pi))r] -12l[1 - e^-(t-2pi)(cos(t-2pi)+sin(t-2pi))r]
Os 1/2 se cancelam, ficando
yp(t) =-12,e^-(t-pi)l(cos(t-pi)+sin(t-pi)r) +12,e^-(t-2pi)l(cos(t-2pi)+sin(t-2pi)r)
Então para t>=2pi,
boxed y(t) =e^-tsin t ;-;tfrac12,e^-(t-pi)l(cos(t-pi)+sin(t-pi)r) ;+;tfrac12,e^-(t-2pi)l(cos(t-2pi)+sin(t-2pi)r)

Resposta

Portanto a solução do PVI é
y(t)=e^-tsin t, & 0<= t<pi,[6pt] y(t)=e^-tsin t +tfrac12l[1 - e^-(t-pi)(cos(t-pi)+sin(t-pi))r], & pi<= t<2pi,[6pt] y(t)=e^-tsin t -tfrac12,e^-(t-pi)l(cos(t-pi)+sin(t-pi)r) +tfrac12,e^-(t-2pi)l(cos(t-2pi)+sin(t-2pi)r), & t>=2pi ]

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