Em cada um dos problemas abaixo, calcule a solução do problema de valor inicial dado. e
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y''+2y'+2y = h(t), y(0)=0,;y'(0)=1
onde
h(t)= 0, & 0<= t<pi, 1, & pi<= t<2pi, 0, & t>=2pi
O conteúdo aqui é solução de EDO linear de 2ª ordem com forçamento em regime causal. Vamos precisar de (a) solução da homogênea, (b) resposta ao impulso g(t) e (c) fórmula de convolução para montar a solução particular.
Passo 2
Primeiro resolvemos a homogênea
y''+2y'+2y=0
A equação característica é
r^2+2r+2=0 Longrightarrow r=-1pm i
Logo a solução geral da homogênea é
yh(t)=e^-tl(Ccos t + Dsin tr)
Impondo y(0)=0 dá C=0, e impondo y'(0)=1 (e lembrando que a parte particular anula em t=0) determina D=1. Assim
yh(t)=e^-tsin t
Passo 3
A resposta ao impulso do sistema
y''+2y'+2y=de<a(t)
tem transformada Y(s)=1s^2+2s+2=1(s+1)^2+1,
cuja inversa é
g(t)=e^-tsin t, t>=0
Pelo princípio da convolução, a solução particular é