Encontre valores de m de forma que a função y(x)=x^m seja solução da equação diferencial abaixo.
$x y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de m tais que
y(x)=x^m
é solução da equação diferencial
x,y^primeprime+2,y^prime=0
O conteúdo aqui é a técnica de testar uma solução do tipo “lei de potência” numa equação ordinária de segunda ordem.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de y(x)=x^m. Pela regra do poder:
y'(x)=m,x^m-1, y''(x)=m(m-1),x^m-2

Passo 3

Substituindo y' e y'' na equação diferencial, temos
xl[m(m-1)x^m-2r]+2l[m,x^m-1r]=0
ou seja
m(m-1)x^m-1+2m,x^m-1=0 Longrightarrow ml((m-1)+2r)x^m-1=0
Como x^m-1neq0 para xneq0, resta resolver
m(m+1)=0
cuja solução é
m=0 ou m=-1

Resposta

Os valores de m são m=0 e m=-1.

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