Utilize a questão anterior para calcular a transformada de Laplace das seguintes funções:
(a) f(t):ll1, & 0 <= t<1 0, & 1 <= t >= 2, f(t+2)=f(t)
(b) f(t)=t, 0 <= t<1 e f(t+1)=f(t).
(c) f(t)=sen(t), 0 <= t<pi e f(t+pi)=f(t)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de funções periódicas usando a fórmula do caso periódico. O conteúdo é “Transformada de Laplace de funções periódicas”, cuja receita é:
Lf(t)(s) =11 - e^-sTintegral0^Tf(t),e^-s t,dt,
onde T é o período de f.

Passo 2

Para o item (a), temos
f(t)= 1, & 0<= t<1, 0, & 1<= t<2, f(t+2)=f(t),
logo T=2. Primeiro calculamos
integral0^2f(t)e^-st,dt =integral0^11cdot e^-st,dt =l[-tfrac1se^-str]0^1 =1-e^-ss
Aplicando a fórmula periódica:
Lf(s) =11-e^-2scdot1-e^-ss =1-e^-ss,(1-e^-2s) =1sl(1+e^-sr)

Passo 3

Para o item (b), temos
f(t)=t,;0<= t<1, f(t+1)=f(t),
logo T=1. Calculamos
integral0^1t,e^-st,dt =1-e^-s(1+s)s^2
por integração por partes. Assim
Lf(s) =11-e^-scdot1-e^-s(1+s)s^2 =1-e^-s(1+s)s^2,(1-e^-s)

Passo 4

Para o item (c), temos
f(t)=sin t,;0<= t<pi, f(t+pi)=f(t),
logo T=pi. Usando a integral conhecida
integral0^pie^-stsin t,dt =1+e^-spis^2+1,
obtemos
Lf(s) =11-e^-spicdot1+e^-spis^2+1 =1+e^-spi(s^2+1),(1-e^-spi)

Resposta

(a) Lf(s)=1sl(1+e^-sr)
(b) Lf(s)=1-e^-s(1+s)s^2,(1-e^-s)
(c) Lf(s)=1+e^-spi(s^2+1),(1-e^-spi)

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