Em cada um dos problemas abaixo, determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências em torno de ponto dado de cada uma das edos a seguir. e .
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede, para dois pontos de expansão , uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências em torno de cada .
Conteúdo: teoria de equações lineares de segunda ordem e região de convergência determinada pela distância até o singular mais próximo.
Passo 2
Colocamos a EDO em forma padrão
onde
Os pontos em que são singularidades (não-analíticas) do problema.
Passo 3
Resolvemos
cujas raízes são
Passo 4
Para , calculamos as distâncias aos singulares:
O singular mais próximo fica a distância 1, logo a série em torno de 0 converge, no mínimo, para ,|x|<1.