Em cada um dos problemas abaixo, determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências em torno de ponto x0 dado de cada uma das edos a seguir.
(1+x^3) y^prime prime+4 x y^prime+y=0, x0=0 e x0=2.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
l(1+x^3r)y''+4x,y'+y=0
e pede, para dois pontos de expansão x0, uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série de potências em torno de cada x0.
Conteúdo: teoria de equações lineares de segunda ordem e região de convergência determinada pela distância até o singular mais próximo.

Passo 2

Colocamos a EDO em forma padrão
y''+p(x),y'+q(x),y=0,
onde
p(x)=4x1+x^3, q(x)=11+x^3
Os pontos em que 1+x^3=0 são singularidades (não-analíticas) do problema.

Passo 3

Resolvemos
1+x^3=0Longrightarrow x^3=-1,
cujas raízes são
x=-1, x=e^ipi/3=12+iraiz32, x=e^i5pi/3=12-iraiz32

Passo 4

Para x0=0, calculamos as distâncias aos singulares:
|0-(-1)|=1, l|0-l(tfrac12pm itfracraiz32r)r| =raizl(tfrac12r)^2+l(tfracraiz32r)^2=1
O singular mais próximo fica a distância 1, logo a série em torno de 0 converge, no mínimo, para ,|x|<1.

Passo 5

Para x0=2, as distâncias são
|2-(-1)|=3, l|2-l(tfrac12pm itfracraiz32r)r| =raizl(2-tfrac12r)^2+l(tfracraiz32r)^2 =raiztfrac94+tfrac34=raiz3
O singular mais próximo está à distância raiz3, logo a série em torno de 2 converge, no mínimo, para ,|x-2|<raiz3.

Resposta

Para x0=0: cota inferior do raio de convergência R>=1.
Para x0=2: cota inferior do raio de convergência R>=raiz3.

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