Calcule a integral dupla , onde é a região do primeiro quadrante delimitada por e .
Escolha uma opção:
a.
b.
c. Nenhuma das Respostas
d.
e.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla , onde é o domínio no primeiro quadrante limitado pelas curvas , e . O conteúdo principal envolve mudança de variáveis adequada para simplificar o domínio, e vamos usar as variáveis e .
Passo 2
Para descrever o domínio nessas novas variáveis, note que:
Na fronteira temos .
Nas retas e temos respectivamente e .
Como estamos no primeiro quadrante, temos , logo e , e .
Passo 3
Precisamos também do jacobiano da transformação
Calculando , obtemos
|J|=12v
Então
dx,dy = 12v,du,dv
e
x^2 = uv
Passo 4
A integral original fica
integral duplaR x^2,dx,dy = integralv=1^2integralu=0^1 uvcdot12v,du,dv = integral1^2integral0^1 u2v^2,du,dv