Calcule a integral dupla integral duplaR x^2 d x d y, onde R é a região do primeiro quadrante delimitada por x y=1, y=x e y=2 x.
Escolha uma opção:
a. 18
b. 14
c. Nenhuma das Respostas
d. 12
e. -18

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaR x^2,dx,dy, onde R é o domínio no primeiro quadrante limitado pelas curvas xy=1, y=x e y=2x. O conteúdo principal envolve mudança de variáveis adequada para simplificar o domínio, e vamos usar as variáveis u=xy e v=y/x.

Passo 2

Para descrever o domínio R nessas novas variáveis, note que:
  • Na fronteira xy=1 temos u=1.
  • Nas retas y=x e y=2x temos respectivamente v=1 e v=2.
    Como estamos no primeiro quadrante, temos x>0,y>0, logo u>0 e 1<= v<=2, e 0<= u<=1.

Passo 3

Precisamos também do jacobiano da transformação
x=raizu/v, y=raizu,v
Calculando J=l|partial(x,y)/partial(u,v)r|, obtemos
|J|=12v
Então
dx,dy = 12v,du,dv
e
x^2 = uv

Passo 4

A integral original fica
integral duplaR x^2,dx,dy = integralv=1^2integralu=0^1 uvcdot12v,du,dv = integral1^2integral0^1 u2v^2,du,dv
Primeiro integramos em u:
integral0^1 u2v^2,du = 12v^2cdotu^22|0^1 = 14v^2

Passo 5

Agora integramos em v:
integral1^2 14v^2,dv = 14l(-1vr)|1^2 = -18 + 14 = 18

Resposta

tfrac18

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