Em cada um dos problemas abaixo, diga se as equações são lineares ou não lineares e indique sua ordem.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado. Temos a equação diferencial
. Nosso objetivo é descobrir se essa equação é linear ou não linear e também identificar a sua ordem. Para isso, vamos precisar entender o que define uma equação diferencial linear e como determinar a ordem de uma equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial linear. Uma equação diferencial é considerada linear se ela pode ser escrita na forma:
Aqui,
são funções que dependem apenas de
, e
também é uma função de
. A chave para a linearidade é que a incógnita
e suas derivadas aparecem apenas de forma linear, ou seja, não são multiplicadas umas pelas outras nem estão elevadas a nenhuma potência além da primeira.
Passo 3
Agora, vamos analisar a equação dada:
Podemos reescrevê-la como:
Observamos que há um termo
, que é o produto da derivada
com
. Esse produto torna a equação não linear, porque em uma equação linear,
e suas derivadas não devem se multiplicar entre si.
Passo 4
Portanto, concluímos que a equação
é não linear.
Passo 5
Agora, vamos determinar a ordem da equação. A ordem de uma equação diferencial é definida pelo maior grau da derivada presente na equação. Na nossa equação, temos
, que é a primeira derivada de
. Não há derivadas de ordem superior na equação.
Resposta
A equação
é não linear e de primeira ordem.