Classifique, quanto à ordem e ao grau, as seguintes equações diferenciais:
y' + x = (y - x y')^(-3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente classificar a equação diferencial quanto à ordem e ao grau. Isso significa que precisamos identificar qual é a derivada mais alta presente na equação (ordem) e o expoente dessa derivada quando a equação está escrita de forma polinomial (grau). Para resolver isso, vamos precisar entender o que são ordem e grau nas equações diferenciais e como identificá-los.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre ordem. A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada mais alta que aparece nela. Olhando a nossa equação:
Aqui, a derivada mais alta é , que é a primeira derivada de em relação a . Então, a ordem da equação é 1.

Passo 3

Agora, vamos para o grau. O grau de uma equação diferencial é o expoente da derivada mais alta quando a equação está escrita de forma polinomial em relação a essa derivada. Para encontrar o grau, precisamos primeiro escrever a equação de forma polinomial.
Nossa equação é:
Para torná-la polinomial na derivada , vamos eliminar o expoente negativo. Podemos fazer isso elevando ambos os lados da equação à potência -1/3 para simplificar, mas isso não vai tornar a equação polinomial. Na verdade, a presença do expoente -3 na expressão impede que a equação seja polinomial em .

Passo 4

Como a equação não consegue ser escrita de forma polinomial em relação à derivada , isso significa que o grau não está definido para esta equação. Em outras palavras, a equação não possui um grau bem definido porque a derivada aparece de maneira não polinomial.

Resposta

A equação diferencial é de primeira ordem e não possui grau definido.

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