Determine se a série é convergente ou divergente. Se a série for convergente, ache a sua soma.
sumn=1^infty n-1n+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série sumn=1^infty n-1n+1 é convergente ou divergente. Se for convergente, também temos que encontrar a soma dela. Vamos usar conceitos de séries infinitas e algumas técnicas para analisar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise. Temos:
n - 1n + 1 = n + 1 - 2n + 1 = 1 - 2n + 1
Então, a série original pode ser reescrita como:
sumn=1^infty (1 - 2n + 1) = sumn=1^infty 1 - 2 sumn=1^infty 1n + 1

Passo 3

Agora, vamos analisar cada uma dessas novas séries separadamente.
  1. Série sumn=1^infty 1: Essa é uma série constante onde cada termo é 1. Sabemos que uma série infinita de constantes diferentes de zero sempre diverge, ou seja, ela não tem um limite finito.
  2. Série sumn=1^infty 1n + 1: Essa é uma série harmônica, que também é conhecida por divergir. Mesmo que seja “deslocada” por 1 no denominador, ela ainda não converge.

Passo 4

Agora, combinando os resultados:
sumn=1^infty (1 - 2n + 1) = diver>=nte - 2 times diver>=nte = diver>=nte
Como temos a subtração de duas séries divergentes, o resultado final também é uma série divergente.

Resposta

A série sumn=1^infty n-1n+1 é divergente.

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