Teste a convergência ou divergência das séries.
sumn=1^infty 2^n n!(n+2)!

Passo 1

Vamos analisar o exercício que nos pede para testar a convergência ou divergência da série:
sumn=1^infty 2^n , n!(n+2)!
Estamos trabalhando com séries e vamos utilizar o Teste da Razão para determinar se a série converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série:
an = 2^n , n!(n+2)!
Simplificando o fator fatorial no denominador:
(n+2)! = (n+2)(n+1)n!
Portanto:
an = 2^n , n!(n+2)(n+1)n! = 2^n(n+2)(n+1)

Passo 3

Agora, aplicaremos o Teste da Razão, que envolve calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Vamos calcular an+1 = 2^n+1(n+3)(n+2) :
an+1an = 2^n+1(n+3)(n+2) times (n+2)(n+1)2^n = 2 times n+1n+3
Então, a razão é:

Passo 4

Calculamos o limite L = limn to infty 2 times n+1n+3 :
L = 2 times limn to infty 1 + 1n1 + 3n = 2 times 1 + 01 + 0 = 2
Dividindo o numerador e o denominador por :

Passo 5

De acordo com o Teste da Razão:
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Aqui, encontramos , o que indica que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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