Resolva:
|x-2|>|2 x+5|

Passo 1

O que o problema pede: resolver a desigualdade |x-2|>|2x+5|, ou seja, encontrar todos os números reais x que tornam verdadeira essa desigualdade.
Informações dadas: a desigualdade envolve valores absolutos de expressões lineares em x. O domínio é todo \mathbb{R} (não há restrições explícitas).

Passo 2

Entendendo a ideia principal (mini-aula): |a| é o valor absoluto de a, que pode ser pensado como a distância de a até zero; matematicamente |a|=\sqrt{a^2}. Quando temos uma desigualdade entre módulos com os dois lados não-negativos (sempre verdade para módulos), podemos elevar ambos os lados ao quadrado sem mudar a direção da desigualdade: |A|>|B| é equivalente a A^2>B^2. Vou usar isso porque transforma módulos em expressões algébricas que a gente sabe manipular.

Passo 3

Aplicando o quadrado às duas partes da desigualdade:
|x-2|>|2x+5|\quad\Longleftrightarrow\quad (x-2)^2>(2x+5)^2.
Justificativa: ambos os lados são \ge0, então a operação de elevar ao quadrado é estritamente crescente nesse domínio e preserva a desigualdade.

Passo 4

Desenvolvendo os quadrados. Primeiro calcule cada quadrado:
(x-2)^2 = x^2-4x+4,
(2x+5)^2 = 4x^2+20x+25.
Agora subtraímos para ficar com >\,0:
(x-2)^2-(2x+5)^2 > 0.
Substituindo:
x^2-4x+4 - (4x^2+20x+25) > 0.

Passo 5

Fazendo as contas passo a passo:
x^2-4x+4 -4x^2 -20x -25 = -3x^2 -24x -21.
Colocando em evidência -3:
-3x^2 -24x -21 = -3(x^2+8x+7).
Então a desigualdade fica
-3(x^2+8x+7) > 0.
Dividindo ambos os lados por -3 (lembrando que dividir por número negativo inverte o sinal da desigualdade):
x^2+8x+7 < 0.

Passo 6

Fatorando o polinômio quadrático:
x^2+8x+7 = (x+1)(x+7).
Portanto a desigualdade é
(x+1)(x+7) < 0.
Explicando a interpretação: o produto de dois fatores é negativo quando os fatores têm sinais opostos. As raízes são x=-1 e x=-7. Entre essas raízes os sinais são opostos, fora delas são iguais. Logo a solução é o intervalo aberto entre as raízes:
-7 < x < -1.

Passo 7

Verificação rápida com exemplos para ganhar confiança:
  • Para x=-4 (que está no intervalo): |-4-2|=6 e |2(-4)+5|=3, temos 6>3 (verdadeiro).
  • Para x=0 (fora do intervalo): |0-2|=2 e |0+5|=5, temos 2>5 (falso).
    Pontos finais -7 e -1 não satisfazem porque a desigualdade é estrita (>), então são excluídos.

Resposta

-7<x<-1

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