Resolva:
Passo 1
O que o problema pede: resolver a desigualdade
, ou seja, encontrar todos os números reais
que tornam verdadeira essa desigualdade.
Informações dadas: a desigualdade envolve valores absolutos de expressões lineares em . O domínio é todo
(não há restrições explícitas).
Informações dadas: a desigualdade envolve valores absolutos de expressões lineares em
Passo 2
Entendendo a ideia principal (mini-aula):
é o valor absoluto de
, que pode ser pensado como a distância de
até zero; matematicamente
. Quando temos uma desigualdade entre módulos com os dois lados não-negativos (sempre verdade para módulos), podemos elevar ambos os lados ao quadrado sem mudar a direção da desigualdade:
é equivalente a
. Vou usar isso porque transforma módulos em expressões algébricas que a gente sabe manipular.
Passo 3
Aplicando o quadrado às duas partes da desigualdade:
Justificativa: ambos os lados são
, então a operação de elevar ao quadrado é estritamente crescente nesse domínio e preserva a desigualdade.
Passo 4
Desenvolvendo os quadrados. Primeiro calcule cada quadrado:
Agora subtraímos para ficar com
:
Substituindo:
Passo 5
Fazendo as contas passo a passo:
Colocando em evidência
:
Então a desigualdade fica
Dividindo ambos os lados por
(lembrando que dividir por número negativo inverte o sinal da desigualdade):
Passo 6
Fatorando o polinômio quadrático:
Portanto a desigualdade é
Explicando a interpretação: o produto de dois fatores é negativo quando os fatores têm sinais opostos. As raízes são
e
. Entre essas raízes os sinais são opostos, fora delas são iguais. Logo a solução é o intervalo aberto entre as raízes:
Passo 7
Verificação rápida com exemplos para ganhar confiança:
- Para
(que está no intervalo): e , temos (verdadeiro). - Para
(fora do intervalo): e , temos (falso).
Pontos finaise não satisfazem porque a desigualdade é estrita , então são excluídos.