Encontre a solução geral de cada equação dada abaixo.
1.3 \frac{d y}{d t}+\frac{1}{t} y=3 \cos (2 t)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
1{,}3\frac{dy}{dt}+\frac{1}{t}y=3\cos(2t).
Informações relevantes dadas:
  • A incógnita é y=y(t).
  • A equação envolve \frac{dy}{dt}, termos em y e uma função não homogênea 3\cos(2t).
  • Há um coeficiente \frac{1}{t}, portanto t\neq 0 no domínio da solução.
  • Queremos a solução geral (família de soluções com constante arbitrária).

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão \dfrac{dy}{dt}+p(t)y=q(t) dividindo por 1{,}3.
Note que 1{,}3=\dfrac{13}{10} e portanto \dfrac{1}{1{,}3}=\dfrac{10}{13}. Dividindo ambos os lados por 1{,}3 obtemos
\frac{dy}{dt}+\frac{10}{13}\cdot\frac{1}{t}\,y=\frac{30}{13}\cos(2t).
Aqui identificamos
p(t)=\frac{10}{13}\cdot\frac{1}{t}=\frac{10}{13t},\qquad q(t)=\frac{30}{13}\cos(2t).

Passo 3

Explico o método do fator integrante (integrating factor) de forma simples:
  • Para uma equação \dfrac{dy}{dt}+p(t)y=q(t) procuramos uma função \mu(t) tal que, ao multiplicar a equação por \mu(t), o lado esquerdo vire a derivada de \mu(t)y(t).
  • Isso exige que \mu'(t)=\mu(t)p(t). Assim
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
Agora calculamos \mu(t):
\int p(t)\,dt=\int \frac{10}{13t}\,dt=\frac{10}{13}\ln|t|.
Logo
\mu(t)=\exp\!\Big(\tfrac{10}{13}\ln|t|\Big)=|t|^{10/13}.
Observação: podemos trabalhar separadamente em t>0 (onde |t|=t) ou t<0; o fator integrante é |t|^{10/13} em geral.

Passo 4

Multiplicamos a equação normalizada por \mu(t)=|t|^{10/13}. O lado esquerdo fica a derivada do produto:
\frac{d}{dt}\big(\mu(t)y(t)\big)=\mu(t)\frac{dy}{dt}+\mu'(t)y(t).
Como \mu'(t)=\mu(t)p(t), a equação multiplicada é
\frac{d}{dt}\big(|t|^{10/13}y(t)\big)=|t|^{10/13}\cdot\frac{30}{13}\cos(2t).

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t. Usando uma constante de integração C e para evitar ambiguidades de primitiva escrevemos a integral como integral definida de um ponto t_0 arbitrário até t:
|t|^{10/13}y(t)=C+\frac{30}{13}\int_{t_0}^{t}|s|^{10/13}\cos(2s)\,ds.
(A constante C absorve a contribuição da integral avaliada em t_0.)

Passo 6

Isolando y(t) obtemos a solução geral:
y(t)=|t|^{-10/13}\left(C+\frac{30}{13}\int_{t_0}^{t}|s|^{10/13}\cos(2s)\,ds\right),
com t\neq 0 e C constante arbitrária. Para soluções em um intervalo onde t>0 (ou t<0) podemos retirar as barras de valor absoluto.

Resposta

y(t)=|t|^{-10/13}\left(C+\frac{30}{13}\int_{t_0}^{t}|s|^{10/13}\cos(2s)\,ds\right),\quad t\neq 0

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