Encontre a solução geral de cada equação dada abaixo.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Informações relevantes dadas:
- A incógnita é
. - A equação envolve
, termos em e uma função não homogênea . - Há um coeficiente
, portanto no domínio da solução. - Queremos a solução geral (família de soluções com constante arbitrária).
Passo 2
Primeiro colocamos a equação na forma padrão
dividindo por
.
Note que e portanto
. Dividindo ambos os lados por
obtemos
Note que
Aqui identificamos
Passo 3
Explico o método do fator integrante (integrating factor) de forma simples:
- Para uma equação
procuramos uma função tal que, ao multiplicar a equação por , o lado esquerdo vire a derivada de . - Isso exige que
. Assim
Agora calculamos
:
Logo
Observação: podemos trabalhar separadamente em
(onde
) ou
; o fator integrante é
em geral.
Passo 4
Multiplicamos a equação normalizada por
. O lado esquerdo fica a derivada do produto:
Como
, a equação multiplicada é
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
. Usando uma constante de integração
e para evitar ambiguidades de primitiva escrevemos a integral como integral definida de um ponto
arbitrário até
:
(A constante
absorve a contribuição da integral avaliada em
.)
Passo 6
Isolando
obtemos a solução geral:
com
e
constante arbitrária. Para soluções em um intervalo onde
(ou
) podemos retirar as barras de valor absoluto.