Em cada um dos problemas de 1 a 6, desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Baseado no campo de direções, determine o comportamento de y quando t infty. Se esse comportamento depender do valor inicial de y em t=0, descreva essa dependência (utilize algum software).
y^prime=3+2 y

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o campo de direções da EDO y'=3+2y e, a partir dele, inferir como y(t) se comporta quando ttoinfty. O conteúdo envolve EDO linear de primeira ordem, pontos de equilíbrio e análise qualitativa de estabilidade.

Passo 2

Primeiro, encontramos os pontos de equilíbrio resolvendo 3+2y=0. Isso nos dá
y=-tfrac32
que é o valor em que y'=0, ou seja, as tangentes no campo de direções são horizontais.

Passo 3

Em seguida, analisamos o sinal de y'=3+2y:
  • Se y> -3/2, então y'>0 e as soluções sobem (setas apontam para cima).
  • Se y< -3/2, então y'<0 e as soluções descem (setas apontam para baixo).
  • Em y=-3/2, temos equilíbrio (setas horizontais).

Passo 4

Com essa informação, o campo de direções mostra que as soluções se afastam de y=-3/2 à medida que t cresce, indicando que esse ponto é instável. Pode-se usar software (Matlab, Mathematica ou Python) para desenhar retas em vários pontos (t,y) com inclinação 3+2y, e verificar esse comportamento.

Passo 5

Para confirmar qualitativamente, obtemos a solução geral da EDO. É uma EDO linear com fator integrante e^-2t. Integrando, chega-se a
y(t)=l(y(0)+tfrac32r)e^2t-tfrac32

Passo 6

Da expressão de y(t) deduzimos o comportamento quando ttoinfty:
  • Se y(0)>-3/2, então y(0)+3/2>0 e y(t)to+infty.
  • Se y(0)<-3/2, então y(0)+3/2<0 e y(t)to-infty.
  • Se y(0)=-3/2, então y(t)=-3/2 para todo t (solução constante).

Resposta

Para y(0)>-tfrac32, y(t)to+infty; para y(0)<-tfrac32, y(t)to-infty; e para y(0)=-tfrac32, y(t) permanece constante em -tfrac32.

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