Em cada um dos problemas de 1 a 6, desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Baseado no campo de direções, determine o comportamento de y quando
. Se esse comportamento depender do valor inicial de y em
, descreva essa dependência (utilize algum software).
Passo 1
O enunciado pede para desenhar o campo de direções da EDO
e, a partir dele, inferir como
se comporta quando
. O conteúdo envolve EDO linear de primeira ordem, pontos de equilíbrio e análise qualitativa de estabilidade.
Passo 2
Primeiro, encontramos os pontos de equilíbrio resolvendo
. Isso nos dá
que é o valor em que
, ou seja, as tangentes no campo de direções são horizontais.
Passo 3
Em seguida, analisamos o sinal de
:
- Se
, então e as soluções sobem (setas apontam para cima). - Se
, então e as soluções descem (setas apontam para baixo). - Em
, temos equilíbrio (setas horizontais).
Passo 4
Com essa informação, o campo de direções mostra que as soluções se afastam de
à medida que
cresce, indicando que esse ponto é instável. Pode-se usar software (Matlab, Mathematica ou Python) para desenhar retas em vários pontos
com inclinação
, e verificar esse comportamento.
Passo 5
Para confirmar qualitativamente, obtemos a solução geral da EDO. É uma EDO linear com fator integrante
. Integrando, chega-se a
Passo 6
Da expressão de
deduzimos o comportamento quando
:
- Se
, então e . - Se
, então e . - Se
, então para todo (solução constante).
Resposta
Para
,
; para
,
; e para
,
permanece constante em
.