Calcular as integrais seguintes:
integral0^pi / 2 x sen(2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^pi2 x,sin(2x),dx
Este tipo de integral com produto de função polinomial e trigonométrica costuma ser resolvido por integração por partes.

Passo 2

Integração por partes diz que
integral u,dv = u,v - integral v,du
Escolhendo
u = x, dv = sin(2x),dx
temos
du = dx, v = integral sin(2x),dx = -12cos(2x)

Passo 3

Substituindo na fórmula de partes:
integral0^pi2 x,sin(2x),dx = l[-x2cos(2x)r]0^pi2 + 12integral0^pi2 cos(2x),dx
Agora, avaliaremos o termo de contorno:
-x2cos(2x)|0^pi2 = -pi/22cos(pi) - 0 = pi4

Passo 4

Falta calcular
12integral0^pi2 cos(2x),dx
Como
integral cos(2x),dx = 12sin(2x),
temos
12 cdot 12 [sin(2x)]0^pi2 = 14(sinpi - sin 0) = 0
Somando os resultados, a integral vale tfracpi4.

Resposta

dfracpi4

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