Calcular as integrais seguintes:
integral0^pi2 x^2 cos (3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
I=integral0^pi2x^2cos(3x),dx
Aqui o conteúdo principal é integração por partes, que vamos usar duas vezes para reduzir a potência de x.

Passo 2

Começamos aplicando integração por partes com
u = x^2, dv = cos(3x),dx
Então
du = 2x,dx,
v = integral cos(3x),dx = 13sin(3x)
Logo,
integral x^2cos(3x),dx = x^2cdot13sin(3x) - integral 13sin(3x)cdot 2x,dx = x^2sin(3x)3 - 23integral xsin(3x),dx

Passo 3

Para calcular
integral xsin(3x),dx
vamos a uma segunda integração por partes, tomando
u = x, dv = sin(3x),dx
Então
du = dx,
v = integral sin(3x),dx = -13cos(3x)
Isso dá
integral xsin(3x),dx = -xcos(3x)3 - integral l(-13cos(3x)r),dx = -xcos(3x)3 + 13integral cos(3x),dx
E
integral cos(3x),dx = 13sin(3x)
Portanto
integral xsin(3x),dx = -xcos(3x)3 + sin(3x)9

Passo 4

Substituindo de volta na primeira parte obtemos o antiderivado
F(x) = x^2sin(3x)3 - 23l(-xcos(3x)3 + sin(3x)9r) = x^2sin(3x)3 + 2xcos(3x)9 - 2sin(3x)27

Passo 5

Finalmente avaliamos de 0 até pi/2:
I = Fl(tfracpi2r) - F(0)
Como sin(0)=0, cos(0)=1 e cos(3pi/2)=0, sin(3pi/2)=-1, só o termo em x=pi/2 com sin(3x) contribui:
I = l(tfracpi2r)^2(-1)3 - 2(-1)27 = -pi^212 + 227

Resposta

I = 227 - pi^212

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