Questão 4. (3,0 pontos)
Seja o campo vetorial
, dado por
. Determine o fluxo deste campo através da circunferência de raio 2 centrada na origem das seguintes formas: (a) fazendo a integral de fluxo
pontos) e (b) utilizando o teorema da divergência no plano ( 1,5 pontos).
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
através da circunferência
. O conteúdo envolve o conceito de fluxo de um campo em uma curva fechada no plano (integral de linha de
) e o teorema da divergência em 2D (caso de máximo ajuda para regiões planas). Para resolver (a) precisamos parametrizar a curva e obter
e
; para (b) precisamos calcular
e integrar sobre a região interna a
.
Passo 2
Parametrizamos
por
O versor normal externo é radial:
. O elemento de arco é
. Logo
e
Então o fluxo em (a) é
Como
e
, o resultado é
.
Passo 3
Para (b), calculamos a divergência
Pelo teorema da divergência em 2D, o fluxo pela fronteira
é
Aqui
é o disco de raio 2:
e, por simetria,
. Logo o fluxo também é
.