Questão 4. (3,0 pontos)

Seja o campo vetorial F: R^2 R^2, dado por F=x i+y^2 j. Determine o fluxo deste campo através da circunferência de raio 2 centrada na origem das seguintes formas: (a) fazendo a integral de fluxo ointC F cdot n d s(1,5 pontos) e (b) utilizando o teorema da divergência no plano ( 1,5 pontos).

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial vec F(x,y)=xhat i+y^2hat j através da circunferência Ccolon x^2+y^2=4. O conteúdo envolve o conceito de fluxo de um campo em uma curva fechada no plano (integral de linha de vec Fcdothat n,ds) e o teorema da divergência em 2D (caso de máximo ajuda para regiões planas). Para resolver (a) precisamos parametrizar a curva e obter hat n e ds; para (b) precisamos calcular nablacdotvec F e integrar sobre a região interna a C.

Passo 2

Parametrizamos C por
vec r(t)=(2cos t,,2sin t), tin[0,2pi]
O versor normal externo é radial: hat n=(cos t,sin t). O elemento de arco é ds=|vec r,'(t)|dt=2,dt. Logo
vec F(vec r(t))=(2cos t,,4sin^2 t)
e
vec Fcdothat n=2cos^2 t+4sin^3 t
Então o fluxo em (a) é
integral0^2pi(2cos^2 t+4sin^3 t),2,dt=integral0^2pi(4cos^2 t+8sin^3 t),dt=4integral0^2picos^2 t,dt+8integral0^2pisin^3 t,dt
Como integral0^2picos^2 t,dt=pi e integral0^2pisin^3 t,dt=0, o resultado é 4pi.

Passo 3

Para (b), calculamos a divergência
nablacdotvec F=partialpartial x(x)+partialpartial y(y^2)=1+2y
Pelo teorema da divergência em 2D, o fluxo pela fronteira C é
integral duplaD(1+2y),dA=integral duplaD1,dA+2integral duplaDy,dA
Aqui D é o disco de raio 2: integral duplaD1,dA=área(D)=4piá e, por simetria, integral duplaDy,dA=0. Logo o fluxo também é 4pi.

Resposta

4pi

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