Questāo 1 Considere a função f(x)=raiz3-c^2 x.
a) (0,3 pontos) Determine o dominio de f.
b) (0,3 pontos) Determine os pontos de continuidade de f.
c) (0,4 pontos) Determine a funcão inversa de f.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão que você mandou! A gente está trabalhando com a função f(x) = raiz3 - c^2x . O que a gente precisa fazer aqui é:
a) Encontrar o domínio dessa função.
b) Descobrir onde essa função é contínua.
c) Encontrar a função inversa de f .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções, radiciação, exponenciais e o que significa domínio e continuidade. Vamos passo a passo!

Passo 2

a) Determinar o domínio de f .
Primeiro, o que é o domínio de uma função? É o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida, ou seja, onde ela dá um resultado real.
Aqui, temos f(x) = raiz3 - c^2x . Dentro da raiz quadrada, o que está lá precisa ser maior ou igual a zero, porque não dá pra tirar raiz de número negativo no conjunto dos números reais.
Então, precisamos que:
3 - c^2x >= 0
Vamos resolver essa desigualdade para achar os valores de x .

Passo 3

Primeiro, colocamos a desigualdade de uma forma mais amigável:
c^2x <= 3
Agora, para resolver isso, vamos lembrar que c^2x = (c^2)^x . Dependendo do valor de c , o comportamento da função exponencial muda, mas vamos assumir que c > 0 e c neq 1 para que a função exponencial faça sentido.
Vamos aplicar o logaritmo para resolver para x :
2x cdot ln(c) <= ln(3)
Agora, dividimos ambos os lados por 2 ln(c) . Mas atenção: se ln(c) for positivo ou negativo, a desigualdade pode mudar de sentido. Mas, para simplificar, vamos assumir que c > 1 , então ln(c) > 0 . Então:
x <= ln(3)2 ln(c)
Então, o domínio de f é todos os x menores ou iguais a ln(3)2 ln(c) .

Passo 4

b) Determinar os pontos de continuidade de f .
Continuidades em funções são pontos onde a função não tem “quebras”, “saltos” ou “buracos”. No caso de f(x) = raiz3 - c^2x , queremos saber onde essa função é contínua.
Como a função raiz quadrada é contínua onde está definida, e a função exponencial c^2x também é contínua para todo x , a composição dessas funções também será contínua no domínio que encontramos.
Então, os pontos de continuidade de f são todos os x que estão no domínio da função, ou seja:
x <= ln(3)2 ln(c)

Passo 5

c) Determinar a função inversa de f .
Para encontrar a função inversa, queremos expressar x em termos de y , onde y = f(x) .
Vamos começar substituindo f(x) por y :
y = raiz3 - c^2x
Primeiro, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
y^2 = 3 - c^2x
Agora, isolamos o termo com c^2x :
c^2x = 3 - y^2
Agora, aplicamos o logaritmo de base c em ambos os lados para resolver para x :
2x = logc(3 - y^2)
Dividindo ambos os lados por 2:
x = 12 logc(3 - y^2)
Então, a função inversa é:
f^-1(y) = 12 logc(3 - y^2)

Resposta

a) O domínio de f é x <= ln(3)2 ln(c) .
b) Os pontos de continuidade de f são todos os x no domínio da função, ou seja, x <= ln(3)2 ln(c) .
c) A função inversa de f é f^-1(y) = 12 logc(3 - y^2) .

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