Questāo 1 Considere a função
.
a)
pontos) Determine o dominio de
.
b)
pontos) Determine os pontos de continuidade de
.
c)
pontos) Determine a funcão inversa de
.
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão que você mandou! A gente está trabalhando com a função
. O que a gente precisa fazer aqui é:
a) Encontrar o domínio dessa função.
b) Descobrir onde essa função é contínua.
c) Encontrar a função inversa de
.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções, radiciação, exponenciais e o que significa domínio e continuidade. Vamos passo a passo!
Passo 2
a) Determinar o domínio de
.
Primeiro, o que é o domínio de uma função? É o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida, ou seja, onde ela dá um resultado real.
Aqui, temos
. Dentro da raiz quadrada, o que está lá precisa ser maior ou igual a zero, porque não dá pra tirar raiz de número negativo no conjunto dos números reais.
Então, precisamos que:
Vamos resolver essa desigualdade para achar os valores de
.
Passo 3
Primeiro, colocamos a desigualdade de uma forma mais amigável:
Agora, para resolver isso, vamos lembrar que
. Dependendo do valor de
, o comportamento da função exponencial muda, mas vamos assumir que
e
para que a função exponencial faça sentido.
Vamos aplicar o logaritmo para resolver para
:
Agora, dividimos ambos os lados por
. Mas atenção: se
for positivo ou negativo, a desigualdade pode mudar de sentido. Mas, para simplificar, vamos assumir que
, então
. Então:
Então, o domínio de
é todos os
menores ou iguais a
.
Passo 4
b) Determinar os pontos de continuidade de
.
Continuidades em funções são pontos onde a função não tem “quebras”, “saltos” ou “buracos”. No caso de
, queremos saber onde essa função é contínua.
Como a função raiz quadrada é contínua onde está definida, e a função exponencial
também é contínua para todo
, a composição dessas funções também será contínua no domínio que encontramos.
Então, os pontos de continuidade de
são todos os
que estão no domínio da função, ou seja:
Passo 5
c) Determinar a função inversa de
.
Para encontrar a função inversa, queremos expressar
em termos de
, onde
.
Vamos começar substituindo
por
:
Primeiro, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Agora, isolamos o termo com
:
Agora, aplicamos o logaritmo de base
em ambos os lados para resolver para
:
Dividindo ambos os lados por 2:
Então, a função inversa é:
Resposta
a) O domínio de
é
.
b) Os pontos de continuidade de
são todos os
no domínio da função, ou seja,
.
c) A função inversa de
é
.