Em cada um dos Problemas 4 a 9, encontre a solução geral da equação diferencial dada. № Problema 9, g é uma função contínua arbitrária.
y^prime prime-2 y^prime+y=e^t /(1+t^2)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' + y = e^t1+t^2,
e pede a solução geral. O conteúdo principal é obter a solução homogênea via equação característica e, em seguida, uma solução particular usando variação de parâmetros.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y'' - 2y' + y = 0
A equação característica é
r^2 - 2r +1 = 0,
cuja única raiz, de multiplicidade 2, é r=1. Logo a solução geral homogênea é
yh(t) = (C1 + C2,t)e^t

Passo 3

Aplicamos variação de parâmetros. Escolhemos a dupla fundamental
y1(t)=e^t, y2(t)=t,e^t
e procuramos
yp(t)=u1(t),y1(t)+u2(t),y2(t)
com u1 e u2 satisfazendo o sistema
u1'y1 + u2'y2 = 0, u1'y1' + u2'y2' = e^t1+t^2

Passo 4

Calculamos as derivadas
y1'=e^t, y2'=(1+t)e^t,
e o sistema vira, dividindo por e^t,
u1' + t,u2' = 0, u1' + (1+t),u2' = 11+t^2
Subtraindo a primeira equação da segunda obtemos
u2' = 11+t^2, u1' = -,t,u2' = -t1+t^2

Passo 5

Integramos para achar u1 e u2. Escolhemos constantes de integração iguais a zero (ficarão absorvidas em yh):
u2(t)=integral 11+t^2,dt = arctan(t), u1(t)=integral -t1+t^2,dt = -12lnl(1+t^2r)

Passo 6

A solução particular é
yp = u1,y1 + u2,y2 = -12lnl(1+t^2r),e^t + l(arctan tr),t,e^t
Colocando em evidência e^t,
yp(t) = e^tl(-tfrac12ln(1+t^2)+t,arctan tr)

Passo 7

A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = e^tl(C1 + C2,tr) + e^tl(-tfrac12ln(1+t^2)+t,arctan tr)

Resposta

boxedy(t) = e^tl(C1 + C2,tr) + e^tl(-tfrac12ln(1+t^2)+t,arctan tr)

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