Em cada um dos Problemas 4 a 9, encontre a solução geral da equação diferencial dada. № Problema 9, é uma função contínua arbitrária.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
e pede a solução geral. O conteúdo principal é obter a solução homogênea via equação característica e, em seguida, uma solução particular usando variação de parâmetros.
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos
A equação característica é
cuja única raiz, de multiplicidade 2, é . Logo a solução geral homogênea é
Passo 3
Aplicamos variação de parâmetros. Escolhemos a dupla fundamental
e procuramos
com e satisfazendo o sistema
Passo 4
Calculamos as derivadas
y1'=e^t, y2'=(1+t)e^t,
e o sistema vira, dividindo por e^t,
u1' + t,u2' = 0, u1' + (1+t),u2' = 11+t^2
Subtraindo a primeira equação da segunda obtemos
u2' = 11+t^2, u1' = -,t,u2' = -t1+t^2
Passo 5
Integramos para achar u1 e u2. Escolhemos constantes de integração iguais a zero (ficarão absorvidas em yh):