Resolva as integrais:
integral0^1 raizx^2+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^1raizx^2+1,dx
O conteúdo aqui é a integração de uma raiz quadrada do tipo raizx^2+a^2. Para resolver, vamos usar a substituição hiperbólica
x = sinh t,
pois isso transforma raizx^2+1 em cosh t.

Passo 2

Fazendo a substituição
x = sinh t, dx = cosh t,dt, raizx^2+1 = cosh t,
os limites mudam de x=0 para t=0 e de x=1 para
t = arsinh(1) = lnl(1+raiz2r)
Logo a integral vira
integral0^1raizx^2+1,dx = integral0^ln(1+raiz2)cosh tcdotcosh t,dt = integral0^ln(1+raiz2)cosh^2t,dt

Passo 3

Para integrar cosh^2t, usamos a identidade
cosh^2t = 1+cosh(2t)2
Assim
integralcosh^2t,dt = integral1+cosh(2t)2,dt = 12integral1,dt + 12integralcosh(2t),dt = t2 + sinh(2t)4 + C

Passo 4

Agora avaliamos de t=0 até t=ln(1+raiz2). Observando que
sinh(2t) = 2sinh t,cosh t
e no limite superior sinh t=1, cosh t=raiz2, temos
sinhl(2ln(1+raiz2)r) = 2cdot1cdotraiz2 = 2raiz2
Logo
integral0^1raizx^2+1,dx = l[t2 + sinh(2t)4r]0^ln(1+raiz2) = 12ln(1+raiz2) + 2raiz24 = 12ln(1+raiz2) + raiz22

Resposta

integral0^1raizx^2+1,dx = raiz22 + 12lnl(1+raiz2r)

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