Resolva as integrais:
integral tg^3(3 x) sec ^5(3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral tan^3(3x),sec^5(3x),dx
Este é um exercício de integração de funções trigonométricas envolvendo potências de tan e sec. Para resolver, vamos usar a identidade tan^2(u)=sec^2(u)-1 e depois uma substituição apropriada.

Passo 2

Reescrevemos o integrando extraindo um fator sec(3x)tan(3x),dx para usar a substituição:
tan^3(3x),sec^5(3x) =l(tan^2(3x)r),tan(3x),sec^5(3x) =l(sec^2(3x)-1r),tan(3x),sec^5(3x)
Portanto,
tan^3(3x),sec^5(3x) =sec^7(3x),tan(3x)-sec^5(3x),tan(3x)

Passo 3

Fazemos a substituição
u=sec(3x), du=3,sec(3x),tan(3x),dx Longrightarrow sec(3x),tan(3x),dx=du3
Assim,
integral tan^3(3x),sec^5(3x),dx =integrall(sec^7(3x),tan(3x)-sec^5(3x),tan(3x)r),dx =integrall(u^7-u^5r)du3

Passo 4

Integramos o polinômio em u:
integrall(u^7-u^5r)du3 =13l(u^88-u^66r)+C =u^824-u^618+C

Passo 5

Voltando à variável original ,u=sec(3x),, obtemos
integral tan^3(3x),sec^5(3x),dx =sec^8(3x)24-sec^6(3x)18+C

Resposta

boxedsec^8(3x)24-sec^6(3x)18+C

Exercícios relacionados