Resolva as integrais:
integral raiz1+x^2x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral raiz1+x^2x,dx. Vamos usar substituição hiperbólica, pois aparece raiz1+x^2.

Passo 2

Fazemos a substituição x=sinh t. Então raiz1+x^2=cosh t e dx=cosh t,dt.

Passo 3

Substituindo na integral temos:
integral raiz1+x^2x,dx = integral cosh tsinh tcdotcosh t,dt = integral cosh^2 tsinh t,dt

Passo 4

Usamos cosh^2 t=1+sinh^2 t para separar em duas integrais:
integral 1+sinh^2 tsinh t,dt = integral 1sinh t,dt + integral sinh t,dt

Passo 5

Sabemos que
integral sinh t,dt = cosh t + C1

Passo 6

Somando os resultados:
cosh t + lnl|tanht2r| + C

Passo 7

Retornando a variável x:
cosh t = raiz1+x^2, tanht2=sinh t1+cosh t=x1+raiz1+x^2

Passo 8

Logo a primitiva é
raiz1+x^2 + lnl|x1+raiz1+x^2r| + C

Resposta

integral raiz1+x^2x,dx = raiz1+x^2 + lnl|x1+raiz1+x^2r| + C

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