Em cada um dos problemas encontre a solução do problema de valor inicial dada.
t y^prime+(t+1) y=t, y(ln 2)=1, t>0

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
t,y'(t)+(t+1),y(t)=t, t>0, y(ln 2)=1
Este é um EDO linear de primeira ordem na forma
y'+l(1+1tr)y=1
Para resolver, vamos usar fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
mu(t)=expl(integrall(1+tfrac1tr),dtr) =expl(t+ln tr) =t,e^t

Passo 3

Multiplicando a equação pela fator integrante, obtemos
(t,e^t,y)'=t,e^tcdot1=t,e^t
Integramos em t:
t,e^t,y=integral t,e^t,dt + C =(t-1)e^t + C
Isolando y, vem
y(t) =(t-1)e^t + Ct,e^t =1-1t+Ct,e^t

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(ln2)=1:
1 =1-1ln2+C(ln2),e^ln2 =1-1ln2+C2,ln2
Subtraindo 1 e multiplicando por 2ln2 -2+C=0, logo C=2.

Resposta

boxedy(t)=1-1t+2t,e^t

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