Dado o problema de valor inicial
rlc d y^2d x^2-4 y & = & 3 e^x y(0) & = & 3 e y^prime(0)=3
Encontre a solução geral desse problema de valor inicial. Apresente sua solução de forma detalhada!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial com uma equação diferencial de segunda ordem. O enunciado é o seguinte:
rlc d y^2d x^2-4 y & = & 3 e^x y(0) & = & 3 e y^prime(0)=3
Vamos precisar usar conceitos de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente vai encontrar a solução geral combinando a solução da equação homogênea com uma solução particular da equação completa, e depois aplicar as condições iniciais para achar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é a parte sem o termo 3 e^x. A equação homogênea é:
y'' - 4y = 0
Para resolver isso, usamos a fórmula característica. Assumimos uma solução da forma y = e^r x e substituímos na equação:
r^2 e^r x - 4 e^r x = 0 implies r^2 - 4 = 0
Resolvendo a equação característica:
r^2 - 4 = 0 implies r = 2 ou r = -2
Então, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 e^2x + C2 e^-2x
Aqui, C1 e C2 são constantes que vamos encontrar depois.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
y'' - 4y = 3 e^x
Como o termo não homogêneo é 3 e^x, que não está presente na solução homogênea, podemos assumir uma solução particular da forma:
yp = A e^x
Onde A é uma constante que precisamos determinar. Vamos derivar yp:
yp' = A e^x
yp'' = A e^x
Substituindo yp, yp' e yp'' na equação diferencial:
A e^x - 4A e^x = 3 e^x
(-3A) e^x = 3 e^x
Comparando os coeficientes, temos:
-3A = 3 implies A = -1
Portanto, a solução particular é:
yp = -e^x

Passo 4

A solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y = yh + yp = C1 e^2x + C2 e^-2x - e^x

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de C1 e C2.
Primeira condição: y(0) = 3
Substituindo x = 0 na solução geral:
3 = C1 e^0 + C2 e^0 - e^0 implies 3 = C1 + C2 -1
C1 + C2 = 4 (Equação 1) çã
Segunda condição: y'(0) = 3
Primeiro, vamos derivar a solução geral:
y' = 2C1 e^2x - 2C2 e^-2x - e^x
Agora, substituindo x = 0:
3 = 2C1 e^0 - 2C2 e^0 - e^0 implies 3 = 2C1 - 2C2 -1
2C1 - 2C2 = 4 implies C1 - C2 = 2 (Equação 2) çã
Agora temos um sistema de duas equações:
  1. C1 + C2 = 4
  2. C1 - C2 = 2
Somando as duas equações:
2C1 = 6 implies C1 = 3
Substituindo C1 = 3 na Equação 1:
3 + C2 = 4 implies C2 = 1

Resposta

Substituindo C1 = 3 e C2 = 1 na solução geral, obtemos a solução final:
y = 3 e^2x + e^-2x - e^x

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