Dado o problema de valor inicial
Encontre a solução geral desse problema de valor inicial. Apresente sua solução de forma detalhada!
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial com uma equação diferencial de segunda ordem. O enunciado é o seguinte:
Vamos precisar usar conceitos de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente vai encontrar a solução geral combinando a solução da equação homogênea com uma solução particular da equação completa, e depois aplicar as condições iniciais para achar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é a parte sem o termo
. A equação homogênea é:
Para resolver isso, usamos a fórmula característica. Assumimos uma solução da forma
e substituímos na equação:
Resolvendo a equação característica:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que vamos encontrar depois.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Como o termo não homogêneo é
, que não está presente na solução homogênea, podemos assumir uma solução particular da forma:
Onde
é uma constante que precisamos determinar. Vamos derivar
:
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Comparando os coeficientes, temos:
Portanto, a solução particular é:
Passo 4
A solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Primeira condição:
Substituindo
na solução geral:
Segunda condição:
Primeiro, vamos derivar a solução geral:
Agora, substituindo
:
Agora temos um sistema de duas equações:
Somando as duas equações:
Substituindo
na Equação 1:
Resposta
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a solução final: