Dada a equação diferencial ordinária de segunda ordem
(D^2-2 D+2)(y)=0
Apresente um conjunto L com 4 soluçōes particulares, distitntas. Justifique sua resposta!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial ordinária de segunda ordem dada por (D^2-2 D+2)(y)=0. Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais, especificamente lidando com equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar soluções particulares dessa equação. Nosso objetivo é apresentar um conjunto L com 4 soluções distintas e justificar por que elas realmente resolvem a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação diferencial (D^2-2 D+2)(y)=0. Aqui, D representa o operador diferencial, ou seja, D(y) = dydx. Então, a equação pode ser reescrita como:
d^2ydx^2 - 2dydx + 2y = 0
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, geralmente buscamos soluções da forma y = e^rx, onde r é uma constante a ser determinada.

Passo 3

Vamos substituir y = e^rx na equação diferencial:
r^2e^rx - 2r e^rx + 2e^rx = 0
Podemos fatorar e^rx (que nunca é zero):
e^rx(r^2 - 2r + 2) = 0
Como e^rx neq 0, temos que:
r^2 - 2r + 2 = 0

Passo 4

Agora, resolvemos a equação quadrática r^2 - 2r + 2 = 0. Usando a fórmula de Bhaskara:
r = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot 22 cdot 1 = 2 pm raiz4 - 82 = 2 pm raiz-42 = 1 pm i
Aqui, encontramos raízes complexas r = 1 + i e r = 1 - i.

Passo 5

Quando as raízes são complexas, de forma a pm b i, as soluções da equação diferencial são da forma:
y = e^a x ( C1 cos(b x) + C2 sin(b x) )
No nosso caso, a = 1 e b = 1, então as soluções gerais são:
y = e^x ( C1 cos(x) + C2 sin(x) )

Passo 6

Para encontrar um conjunto L com 4 soluções particulares distintas, podemos escolher diferentes valores para C1 e C2. Vamos selecionar soluções com diferentes combinações de seno e cosseno:
  1. y1 = e^x cos(x) (quando C1 = 1 e C2 = 0)
  2. y2 = e^x sin(x) (quando C1 = 0 e C2 = 1)
  3. y3 = e^x (cos(x) + sin(x)) (quando C1 = 1 e C2 = 1)
  4. y4 = e^x (cos(x) - sin(x)) (quando C1 = 1 e C2 = -1)
Todas essas soluções satisfazem a equação diferencial original e são distintas entre si porque combinam seno e cosseno de maneiras diferentes.

Resposta

Portanto, um conjunto L com 4 soluções particulares distintas para a equação diferencial dada é:
L = , e^x cos(x),; e^x sin(x),; e^x (cos(x) + sin(x)),; e^x (cos(x) - sin(x)) ,

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