Dada a equação diferencial ordinária de segunda ordem
Apresente um conjunto
com 4 soluçōes particulares, distitntas. Justifique sua resposta!
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial ordinária de segunda ordem dada por
. Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais, especificamente lidando com equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar soluções particulares dessa equação. Nosso objetivo é apresentar um conjunto
com 4 soluções distintas e justificar por que elas realmente resolvem a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação diferencial
. Aqui,
representa o operador diferencial, ou seja,
. Então, a equação pode ser reescrita como:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, geralmente buscamos soluções da forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 3
Vamos substituir
na equação diferencial:
Podemos fatorar
(que nunca é zero):
Como
, temos que:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação quadrática
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, encontramos raízes complexas
e
.
Passo 5
Quando as raízes são complexas, de forma
, as soluções da equação diferencial são da forma:
No nosso caso,
e
, então as soluções gerais são:
Passo 6
Para encontrar um conjunto
com 4 soluções particulares distintas, podemos escolher diferentes valores para
e
. Vamos selecionar soluções com diferentes combinações de seno e cosseno:
-
(quando e ) -
(quando e ) -
(quando e ) -
(quando e )
Todas essas soluções satisfazem a equação diferencial original e são distintas entre si porque combinam seno e cosseno de maneiras diferentes.
Resposta
Portanto, um conjunto
com 4 soluções particulares distintas para a equação diferencial dada é: