Em cada um dos problemas encontre o volume do sólido que é gerado pela rotação da região plana limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado.
torno do eixo x
Passo 1
O enunciado diz que temos a região plana limitada por y=x², y=0 e x=1, e que essa região gira em torno do eixo x. O conteúdo é cálculo de volume de revolução, e vamos usar o método dos discos (ou fatias) para montar uma integral em x.
Passo 2
No método dos discos, cada fatia perpendicular ao eixo x gera um círculo de raio igual à distância da curva ao eixo. Aqui a curva é y=x² e o eixo é o x, então o raio de cada disco é R(x)=x².
O volume de cada disco de espessura dx é π[R(x)]²dx. Assim, o volume total é a integral de x=0 até x=1 de π(x²)²dx.
O volume de cada disco de espessura dx é π[R(x)]²dx. Assim, o volume total é a integral de x=0 até x=1 de π(x²)²dx.
Passo 3
Montamos a integral:
Passo 4
Agora calculamos a integral de x⁴:
Passo 5
Multiplicando pelo π, obtemos o volume final.
Resposta
V =