Em cada um dos problemas encontre o volume do sólido que é gerado pela rotação da região plana limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado.
y=x^2, y=0, x=1 em torno do eixo x

Passo 1

O enunciado diz que temos a região plana limitada por y=x², y=0 e x=1, e que essa região gira em torno do eixo x. O conteúdo é cálculo de volume de revolução, e vamos usar o método dos discos (ou fatias) para montar uma integral em x.

Passo 2

No método dos discos, cada fatia perpendicular ao eixo x gera um círculo de raio igual à distância da curva ao eixo. Aqui a curva é y=x² e o eixo é o x, então o raio de cada disco é R(x)=x².
O volume de cada disco de espessura dx é π[R(x)]²dx. Assim, o volume total é a integral de x=0 até x=1 de π(x²)²dx.

Passo 3

Montamos a integral:
V=integral0^1pil(x^2r)^2,dx=piintegral0^1x^4,dx

Passo 4

Agora calculamos a integral de x⁴:
integral0^1x^4,dx=l[tfracx^55r]0^1=tfrac15

Passo 5

Multiplicando pelo π, obtemos o volume final.

Resposta

V = pi5

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