Nos Problemas 21-34, use o teorema de resíduos de Cauchy para calcular a integral indicada ao longo do contorno especificado.
ointC e^zz^3+2 z^2 d z, C:|z|=3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno ointC e^zz^3+2z^2,dz onde C é o círculo |z|=3, usando o teorema dos resíduos de Cauchy. Vamos precisar identificar os polos de f(z)=e^z/(z^3+2z^2) dentro de C, calcular seus resíduos e, então, aplicar ointC f(z)dz = 2pi i sum Res(f,polos).

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
z^3+2z^2 = z^2(z+2) Isso mostra que há um polo de ordem 2 em z=0 e um polo simples em z=-2. Ambos estão dentro de |z|=3.

Passo 3

Para o polo simples z=-2, usamos
Resl(f,-2r) = limzto -2(z+2)e^zz^2(z+2) = e^-2(-2)^2 = e^-24

Passo 4

Para o polo de ordem 2 em z=0, aplicamos a fórmula
Resl(f,0r) = 11!ddzl[z^2e^zz^2(z+2)r]z=0 = ddzl[e^zz+2r]z=0 Derivando e avaliando em z=0:
ddzl[e^zz+2r] = e^z(z+2)-e^z(z+2)^2 = e^z(z+1)(z+2)^2, logo
Resl(f,0r) = e^0(0+1)(0+2)^2 = 14

Passo 5

Somando os resíduos e aplicando o teorema de Cauchy:
sumRes = 14+e^-24 = 1+e^-24, e assim
ointC f(z),dz = 2pi i cdot 1+e^-24 = pi i2,(1+e^-2)

Resposta

pi i2,(1+e^-2)

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