Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D.
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Passo 1

Vamos lá: o enunciado pede para achar os valores absoluto máximo e mínimo da função f(x,y)=2x^2+x+y^2-2 no disco fechado D=(x,y):x^2+y^2<=4. O conteúdo aqui é estudar extremos de funções de duas variáveis em conjuntos fechados, usando pontos críticos internos e análise na fronteira.

Passo 2

Primeiro achamos os pontos críticos internos resolvendo nabla f=0. Temos nabla f=(4x+1,,2y),, que zera quando 4x+1=0 e 2y=0. Logo x=-1/4 e y=0, e esse ponto fica dentro de D porque (-1/4)^2+0^2=1/16<4.
Agora avaliamos f nesse ponto: $ .

Passo 3

Em seguida, estudamos a fronteira x^2+y^2=4. Parametrizamos por x=2cos t, y=2sin t, de t=0 a 2pi. Substituindo em f: f=2(2cos t)^2+(2cos t)+ (2sin t)^2 -2 =4cos^2t+2cos t+2,
Chamando u=cos t com uin[-1,1], definimos g(u)=4u^2+2u+2,
Derivando para achar extremos em [-1,1]: g'(u)=8u+2implies u=-tfrac14,, além dos extremos nos pontos finais u=pm1. Avaliando: g(-1/4)=4(tfrac116)+2(-tfrac14)+2=tfrac74=1,75,, g(1)=4+2+2=8,, g(-1)=4-2+2=4,
Logo na fronteira o mínimo vale 1,75 e o máximo vale 8.

Passo 4

Por fim comparamos com o valor interno -17/8approx-2,125: esse é menor que qualquer ponto da fronteira, então é o mínimo absoluto; o maior é 8, atingido em (2,0).

Resposta

O valor mínimo absoluto é f(-1/4,0)=-17/8 e o valor máximo absoluto é f(2,0)=8.

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