Determine os valores máximo e mínimo absolutos de
no conjunto
.
.
Passo 1
Vamos lá: o enunciado pede para achar os valores absoluto máximo e mínimo da função
no disco fechado
. O conteúdo aqui é estudar extremos de funções de duas variáveis em conjuntos fechados, usando pontos críticos internos e análise na fronteira.
Passo 2
Primeiro achamos os pontos críticos internos resolvendo
. Temos
que zera quando
e
. Logo
e
, e esse ponto fica dentro de
porque
.
Agora avaliamos
nesse ponto: $
.
Passo 3
Em seguida, estudamos a fronteira
. Parametrizamos por
,
, de
a
. Substituindo em
:
Chamando
com
, definimos
Derivando para achar extremos em
:
além dos extremos nos pontos finais
. Avaliando:
Logo na fronteira o mínimo vale e o máximo vale
.
Logo na fronteira o mínimo vale
Passo 4
Por fim comparamos com o valor interno
: esse é menor que qualquer ponto da fronteira, então é o mínimo absoluto; o maior é
, atingido em
.
Resposta
O valor mínimo absoluto é
e o valor máximo absoluto é
.