Em cada um dos problemas encontre o volume do sólido que é gerado pela rotação da região plana limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado.
(primeiro quadrante) em torno do eixo y
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo y, a região do primeiro quadrante limitada por
,
e
. O tema aqui é cálculo de volumes por rotação (método dos discos/fatias).
Passo 2
Para aplicar o método dos discos, fazemos fatias horizontais a uma altura
. Cada fatia, ao girar em torno de
, gera um disco de raio igual ao valor máximo de
nessa altura. Da curva
obtemos
, então o raio do disco é
.
Passo 3
A área de cada disco é
. Assim o volume total é a integral dessas áreas de
até
:
Passo 4
Resposta
Calculando a integral:
Portanto, o volume do sólido é
.