Em cada um dos problemas encontre o volume do sólido que é gerado pela rotação da região plana limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado.
y=x^2, y=4, x=0 (primeiro quadrante) em torno do eixo y

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo y, a região do primeiro quadrante limitada por y=x^2, y=4 e x=0. O tema aqui é cálculo de volumes por rotação (método dos discos/fatias).

Passo 2

Para aplicar o método dos discos, fazemos fatias horizontais a uma altura y. Cada fatia, ao girar em torno de y, gera um disco de raio igual ao valor máximo de x nessa altura. Da curva y=x^2 obtemos x=raizy, então o raio do disco é R(y)=raizy.

Passo 3

A área de cada disco é A(y)=pi [R(y)]^2=pi,y. Assim o volume total é a integral dessas áreas de y=0 até y=4:

Passo 4

V=integral0^4!A(y),dy=integral0^4!pi,y,dy

Resposta

Calculando a integral:
V=piintegral0^4y,dy=pigl[y^22gr]0^4=picdot162=8pi
Portanto, o volume do sólido é 8pi.

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