Em cada um dos problemas a seguir calcule a área da superfície de revolução gerada pela rotação da curva em torno do eixo indicado.
em torno do eixo x
Passo 1
O problema pede a área da superfície obtida ao girar a curva y=√(2x−x²), de x=0 a x=2, em torno do eixo x. Isso cai no conteúdo de cálculo de área de superfície de revolução. Para resolver, vamos usar a fórmula básica
e calcular passo a passo.
Passo 2
Primeiro, precisamos da derivada y’(x). Como y=(2x−x²)^{1/2}, aplicando a regra da cadeia, temos
Passo 3
Em seguida, olhamos para 1+(y’)² e vemos que tudo se simplifica lindamente. Calculamos
Logo,
Passo 4
Isso faz o integrando virar y·(1/y)=1. Substituindo na fórmula,
Resposta
4\pi