Em cada um dos problemas a seguir calcule a área da superfície de revolução gerada pela rotação da curva em torno do eixo indicado.
em torno do eixo x

Passo 1

O problema pede a área da superfície obtida ao girar a curva y=√(2x−x²), de x=0 a x=2, em torno do eixo x. Isso cai no conteúdo de cálculo de área de superfície de revolução. Para resolver, vamos usar a fórmula básica
S=2piintegrala^b y(x)raiz1+l(y'(x)r)^2,dx
e calcular passo a passo.

Passo 2

Primeiro, precisamos da derivada y’(x). Como y=(2x−x²)^{1/2}, aplicando a regra da cadeia, temos
y'=12(2x−x^2)^-1/2cdot(2−2x) =1-xraiz2x−x^2

Passo 3

Em seguida, olhamos para 1+(y’)² e vemos que tudo se simplifica lindamente. Calculamos
1+l(1-xraiz2x−x^2r)^2 =(2x−x^2)+(1-x)^22x−x^2 =12x−x^2
Logo,
raiz1+(y')^2=1raiz2x−x^2=1y

Passo 4

Isso faz o integrando virar y·(1/y)=1. Substituindo na fórmula,
S=2piintegral0^2 1,dx =2pil[xr]0^2 =4pi

Resposta

4\pi

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