Nos Problemas 21-34, use o teorema de resíduos de Cauchy para calcular a integral indicada ao longo do contorno especificado.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando o teorema dos resíduos de Cauchy, onde o contorno
é o círculo
. Vamos precisar identificar os polos dentro de
, expandir a parte singular em série de Laurent e extrair o coeficiente de
.
Passo 2
A única singularidade de
dentro de
é em
, pois
tem polos simples nos inteiros. Como também temos
, o ponto
é um polo de ordem 3 para o integrando.
Passo 3
Para achar o resíduo em
, usamos a expansão em série de Laurent de
em torno de zero:
Multiplicando por
, obtemos a expansão de
:
O resíduo é o coeficiente de
, que é
.
Passo 4
Pela fórmula do teorema dos resíduos,
. Logo,
a integral vale
Resposta
<p>
</p>