Nos Problemas 21-34, use o teorema de resíduos de Cauchy para calcular a integral indicada ao longo do contorno especificado.
ointC cot pi zz^2 d z, C:|z|=12

Passo 1

O enunciado pede para calcular ointC cotpi zz^2,dz usando o teorema dos resíduos de Cauchy, onde o contorno C é o círculo |z|=1/2. Vamos precisar identificar os polos dentro de C, expandir a parte singular em série de Laurent e extrair o coeficiente de 1/z.

Passo 2

A única singularidade de cotpi z dentro de |z|<1/2 é em z=0, pois cotpi z tem polos simples nos inteiros. Como também temos 1/z^2, o ponto z=0 é um polo de ordem 3 para o integrando.

Passo 3

Para achar o resíduo em z=0, usamos a expansão em série de Laurent de cotpi z em torno de zero: cotpi z=1pi z-pi z3+O(z^3) Multiplicando por 1/z^2, obtemos a expansão de cotpi zz^2: cotpi zz^2=1pi z^3-pi3,z+cdots O resíduo é o coeficiente de 1/z, que é -pi/3.

Passo 4

Pela fórmula do teorema dos resíduos, ointCf(z),dz=2pi itimes(resíduo em 0)í. Logo,
a integral vale 2pi il(-pi3r)=-2pi^2 i3

Resposta

<p> -tfrac2pi^2 i3</p>

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